[論文レビュー] A new version of Brakke's local regularity theorem

Ananda Lahiri|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ユークリッド空間内の整数的ブレーケ・フローに対する、ブレーケの局所的正則性定理の新版を提示する。初期高さが小さく、測度の上限があり、質量が消えないという仮定の下で、滑らかなグラフィカル正則性の時間区間を最終時刻 $ t_2 $ まで拡張する。主な進展は、初期に局所的にグラフィカルで勾配が小さいフローが、$ t_2 $ までグラフィカルかつ滑らかに保たれることを証明したことである。これは、ブレーケおよびホワイトの正則性定理を、ブレーケ・フローの弱い設定に一般化したものである。

ABSTRACT

Consider an integral Brakke flow $(μ_t)$, $t\in [0,T]$, inside some ball in Euclidean space. If $μ_{0}$ has small height, its measure does not deviate too much from that of a plane and if $μ_{T}$ is non-empty, then Brakke's local regularity theorem yields that $(μ_t)$ is actually smooth and graphical inside a smaller ball for times $t\in (C,T-C)$ for some constant $C$. Here we extend this result to times $t\in (C,T)$. The main idea is to prove that a Brakke flow that is initially locally graphical with small gradient will remain graphical for some time. Moreover we use the new local regularity theorem to generalise White's regularity theorem to Brakke flows.

研究の動機と目的

• 整数的ブレーケ・フローの文脈において、ブレーケの局所的正則性定理を、$ t_2 - C $ までではなく最終時刻 $ t_2 $ まで正則性を拡張すること。
• 初期に局所的にグラフィカルで勾配が小さいブレーケ・フローが、測度および高さの制約の下で、$ t_2 $ を含む正の時間区間でグラフィカルかつ滑らかに保たれることを確立すること。
• ガウス型密度比が1に近いことから、曲率推定とグラフィカル正則性が得られることを示し、ホワイトの局所的正則性定理をブレーケ・フローに一般化すること。
• 測度論的および幾何的制約（小さな高さ、平面からの測度のずれ、非ゼロの質量）を用いて、長時間にわたる正則性を保証する厳密なフレームワークを提供すること。

提案手法

• ヒュイスキエンの単調性公式の使用と、エッカーのカットオフ関数による局所化により、測度の減衰と曲率の振る舞いを制御する。
• 時間に依存する新しいグラフィカル表現 $ u(t, \bullet) $ を導入し、勾配の制御 $ \sup |Du| \leq \alpha_0^{-1} \rho^{-2}(t - t_1) $ を実現することで滑らかさを保証する。
• 改良された高さの上限と平面との測度比較を用いて、初期スラブにおける平坦さからのずれを制御する。
• ガウス型密度比が1に近いことに基づく、新しい局所的正則性条件を確立する。これはホワイトの定理に類似しているが、ブレーケ・フローに拡張されている。
• 逐次的収束の反復的議論とコンパクトネスを用いて、入れ子の領域上での極限ブレーケ・フローを構成し、スケール間の一貫性を保証する。
• イルマンエンおよびエッカーの単調性と曲率推定に関する研究を活用し、初期データが小さい条件下で一様な境界を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブレーケの局所的正則性定理は、$ t_2 - C $ までではなく、最終時刻 $ t_2 $ まで滑らかなグラフィカル正則性を保証できるように拡張可能か？
• RQ2 初期に局所的にグラフィカルで勾配が小さいブレーケ・フローが、$ t_2 $ を含む正の時間区間でグラフィカルかつ滑らかに保たれる条件は何か？
• RQ3 ガウス型密度比に基づくホワイトの曲率推定は、整数的ブレーケ・フローの設定に一般化可能か？
• RQ4 測度論的および幾何的制約（小さな高さ、平面からの測度のずれ、非ゼロの質量）をどのように用いて、長時間にわたる正則性を保証できるか？
• RQ5 小さな初期データおよび測度の上限の下で、ブレーケ・フローのグラフィカル正則性が保持される最適な時間区間は何か？

主な発見

• 初期測度が高さ $ \gamma\rho $ の狭いスラブ内にあり、$ \gamma \in [0, \gamma_0] $ である限り、ブレーケ・フローに対して滑らかなグラフィカル正則性を保証する新しい局所的正則性定理が確立された。また、$ t_1 $ における測度は $ (2 - \lambda)\omega_n \rho^n $ で有界である。
• 正則性の時間区間が $ I = (t_1 + \gamma^{\alpha_0}\rho^2, t_2) $ にまで拡張され、$ \alpha_0 \in (0,1) $ である。これは、正則性が最終時刻 $ t_2 $ まで成立することを示しており、それより前までではない。
• $ \mu_t \mathop{\vrule height=5.59721pt,depth=0.0pt,width=0.51663pt\vrule height=0.4736pt,depth=0.0pt,width=4.73611pt} \mathbf{C}(a, \gamma_0\rho, \rho) = \mathscr{H}^n \mathop{\vrule height=5.59721pt,depth=0.0pt,width=0.51663pt\vrule height=0.4736pt,depth=0.0pt,width=4.73611pt} \mathrm{graph}(u(t, \cdot)) $ を満たす、$ u \in C^\infty(I \times \mathbf{B}^n(\hat{a}, \gamma_0\rho), \mathbb{R}^k) $ のようなグラフィカル表現が存在し、滑らかさとグラフィカル性が保証される。
• グラフの勾配は一様に制御されている：$ \sup |Du(t, \cdot)| \leq \alpha_0^{-1} \rho^{-2}(t - t_1) $ であり、これはすべての $ t \in I $ においてフローがグラフィカルかつ滑らかに保たれることを保証する。
• 新しいホワイト型正則性定理が証明された：ガウス型密度比が1に近いならば、ブレーケ・フローは局所的にグラフィカルかつ滑らかになる。これはホワイトの結果を弱い設定に一般化したものである。
• 証明は、洗練された測度推定、単調性公式、反復的コンパクトネスの議論に依拠しており、入れ子の領域上で一貫した極限ブレーケ・フローを構成し、正則性の伝播を保証する。