[論文レビュー] A new way to deal with Izergin-Korepin determinant at root of unity

Yu. G. Stroganov|ArXiv.org|Apr 22, 2002

Polynomial and algebraic computation参考文献 10被引用数 46

ひとこと要約

本稿は、六頂点模型におけるイゼルギン＝コレイン行列式を根の単位において分析するための新規な関数方程式的手法を導入し、特に η = 2π/3 の場合に焦点を当てる。この手法により、すべてのスペクトルパラメータ {x} ∪ {y} の交換に対する分配関数の驚くべき対称性が明らかになり、精細化された交代行列（ASM）の数え上げに関する新しい関係、特にトップ・ボトム二重精細化ASM分布の閉形式表現が導出される。

ABSTRACT

I consider the partition function of the inhomogeneous 6-vertex model defined on the $n$ by $n$ square lattice. This function depends on 2n spectral parameters $x_i$ and $y_i$ attached to the horizontal and vertical lines respectively. In the case of domain wall boundary conditions it is given by Izergin-Korepin determinant. For $q$ being a root of unity the partition function satisfies to a special linear functional equation. This equation is particularly good when the crossing parameter $η=2π/3$. In this case it can be used for solving some of the problems related to the enumeration of alternating sign matrices. In particular, it is possible to reproduce the refined ASM distribution discovered by Mills, Robbins and Rumsey and proved by Zeilberger. Further, it is well known that the partition function is symmetric in the $\{x\}$ and as well in the $\{y\}$ variables. I have found that in the case of $η=2π/3$, the partition function is symmetric in the union $\{x\} \cup \{y\}$! This nice symmetry is used to find some relations between the numbers of such alternating sign matrices of order $n$ whose two '1' are located in fixed positions on the boundary of the matrices. Finally I derive the equation giving `top-bottom double refined' ASM distribution.

研究の動機と目的

• 交差パラメータ η が単位根のとき、特に η = 2π/3 のとき、イゼルギン＝コレイン行列式を分析するための新しい手法を開発すること。
• スペクトルパラメータのシフトから導かれる関数方程式を活用し、ドメインウォール境界を持つ六頂点模型の分配関数における隠れた対称性を解明すること。
• 関数方程式と対称性を用いて、交代行列（ASMs）の精細化および二重精細化数え上げの正確な組合せ公式を導出すること。
• 二重精細化ASM数 B(n;r,ṙ) と精細化ASM数 A(n;r) の間の非線形再帰関係を確立し、既知の予想を確認および拡張すること。

提案手法

• η = 2π/3 のとき、k = 0,1,2 に対してスペクトルパラメータを kη だけシフトしたもとでのイゼルギン＝コレイン行列式の和をとることで、分配関数に対する線形関数方程式を導出する。
• 三角恒等式 sin(u+π/3)sin(u−π/3)sin(u) = −(1/4)sin(3u) を用いて、関数方程式をより取り扱いやすい形に簡略化する。
• f(u) = Z(u) × ∏_{i=1}^{2n−1} sin(u − u_i) を導入することで、関数方程式を三角多項式方程式に変換する。
• η = 2π/3 のとき、すべての {x} と {y} スペクトルパラメータの交換に対する分配関数の新しく発見された対称性を活用し、ASMsにおける境界上に配置された1の位置を関連付ける。
• Wronskianに類似た組み合わせ f(u)f′(ũ) − f′(u)f(ũ) を用いて、二重精細化生成関数を構成する。この生成関数は関数方程式を満たし、二重精細化分布を符号化する。
• 生成関数 A(t), G(t), H(t) を用いて、二重精細化ASM数 B(n;r,ṙ) と精細化ASM数 A(n;r) の間の非線形再帰関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数方程式的手法を用いて、特に η = 2π/3 のとき、根の単位におけるイゼルギン＝コレイン行列式を分析することは可能か？
• RQ2 ドメインウォール境界を持つ六頂点模型の分配関数は、η = 2π/3 のとき、すべてのスペクトルパラメータ {x} ∪ {y} の交換に対して隠れた対称性を示すか？
• RQ3 この対称性を用いて、交代行列の精細化および二重精細化数え上げに関する新しい組合せ的恒等式を導出できるか？
• RQ4 関数方程式と対称性を用いて、トップ・ボトム二重精細化ASM分布の閉形式表現を導出することは可能か？
• RQ5 二重精細化ASM数と精細化ASM数の間の正確な代数的関係は何か？

主な発見

• ドメインウォール境界を持つ六頂点模型の分配関数は、η = 2π/3 のとき、すべてのスペクトルパラメータ {x} ∪ {y} の交換に対して対称であり、これは以前に未知であった性質である。
• 2π/3 によるスペクトルパラメータのシフトから導かれる関数方程式により、精細化ASM分布の正確な導出が可能となり、ミルズ、ロビンズ、ラムジーがゼイラークバーによって証明した結果を再現する。
• 二重精細化ASM数 B(n;r,ṙ) と精細化ASM数 A(n;r) の間に、次式で与えられる非線形再帰関係が確立された： B(n;r+1,ṙ+1) − B(n;r,ṙ) = [A(n−1,r)(A(n,ṙ+1)−A(n,ṙ)) + A(n−1,ṙ)(A(n,r+1)−A(n,r))]/A(n,1)。
• 二重精細化ASM生成関数は有理関数として表される： ∑_{r,ṙ} B(n;r,ṙ)t^{n−r}ṫ^{ṙ−1} = const × (H(t)G(ṫ) − H(ṫ)G(t))/(t − ṫ)、ここで G(t) と H(t) は精細化ASM生成関数 A(t) で定義される。
• 関数方程式と対称性の手法により、精細化ASM予想が正確に再現され、代数的導出によってその妥当性が確認された。
• この手法は、精細化ASM数から二重精細化ASM数を体系的に計算する方法を提供し、ASM数え上げのための新しい代数的フレームワークをもたらす。