[論文レビュー] A No-Go Theorem About Rotation in Relativity Theory

David B. Malament|ArXiv.org|Nov 27, 2000

Relativity and Gravitational Theory参考文献 3被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、一般相対性理論において、非真空の一般化された非回転基準——角運動量（ZAM）または慣性の方向計（CIA）原理に基づくもの——が、2つの最小限の適切性条件を同時に満たせないことを示すノーガ theorem を提示している。その2条件とは、点的極限における振る舞いを示す「極限条件」と、相対的回転を正しく特定する「相対的回転条件」である。結果として、局所的または準局所的な基準によって曲がった時空における非回転を定義する上で、根本的な幾何的障害が存在することが示された。

ABSTRACT

Within the framework of general relativity, in some cases at least, it is a delicate and interesting question just what it means to say that an extended body is or is not "rotating". It is so for two reasons. First, one can easily think of different criteria of rotation. Though they agree if the background spacetime structure is sufficiently simple, they do not do so in general. Second, none of the criteria fully answers to our classical intuitions. Each one exhibits some feature or other that violates those intuitions in a significant and interesting way. The principal goal of the paper is to make the second claim precise in the form of a modest no-go theorem.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における非回転基準のための最小限の適切性条件を特定・形式化すること。
• ZAM や CIA のような標準的手法を含む、一般化された基準が、すべての相対的時空モデルで極限条件と相対的回転条件の両方を満たせないことを示すこと。
• 古典的直感における回転の概念と、曲がった時空の構造との間に生じる幾何的不整合を明らかにすること。
• なぜ標準的な非回転基準が、非ミンコフスキー時空では完全に古典的期待に一致しないのかを明確にすること。

提案手法

• ZAM（角運動量）と CIA（慣性の方向計）基準を含む、'一般化された非回転基準' のクラスを定義する。
• 2つの適切性条件を導入する：'極限条件'（点的極限過程における振る舞い）と'相対的回転条件'（相対的回転を正しく特定すること）。
• 世界線に沿った方向ベクトル場のフェルミ微分を用いて、望遠鏡の追尾行動を特徴づけ、水桶の平坦性の代理として用いる。
• 望遠鏡の方向のフェルミ微分が消えるためのパラメータ k の臨界値 kcrit(γ) を分析する。このとき、k = kcrit(γ) であれば非回転が成立する。
• kcrit が軸に沿って定数でない場合、任意のこのような基準に対して相対的回転条件が成立しないことを証明する。
• 軸上の点の部分多様体上で幾何関数（例：f = α/β）のテイラー展開を用いて滑らかさを示し、kcrit の定数性に関する条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非真空の一般化された非回転基準が、すべての相対的時空モデルで極限条件と相対的回転条件の両方を満たすことは可能か？
• RQ2 なぜ ZAM や CIA のような標準的基準が、曲がった時空において古典的非回転の直感と完全に一致しないのか？
• RQ3 静的でない時空、例えばゴーデル時空のような非静的、軸対称時空において、一貫した局所的非回転定義を妨げる幾何的制約は何か？
• RQ4 臨界パラメータ kcrit(γ) が軸に沿って定数となる条件は何か？そしてなぜそれが有効な非回転基準にとって不可欠なのか？
• RQ5 kcrit 関数が非定数であるような時空モデルが存在するか？その場合、任意の一般化基準に対して相対的回転条件が破られるか？

主な発見

• すべての相対的時空モデルで、非真空の一般化された非回転基準が極限条件と相対的回転条件の両方を満たすことはできない。
• 回転するリング上の光源を追尾する望遠鏡の状態を決定づける臨界パラメータ kcrit(γ) が、相対的回転条件を満たすためには軸に沿って定数でなければならない。この条件は、ゴーデル時空のような非静的時空では満たされない。
• ゴーデル時空では kcrit が軸に沿って定数でないため、このモデルでは任意の一般化基準が相対的回転を正しく特定できない。
• α = –τaϕa および β = ϕaϕa と定義される関数 f = α/β は、kcrit が定数でない場合でも、軸上の任意の点で滑らかで無限回微分可能である。
• ゴーデル時空のような非静的、軸対称時空では、kcrit が軸に沿って定数でないことが、任意の一般化基準に対して相対的回転条件を破壊する直接の原因となる。
• 望遠鏡の方向のフェルミ微分が、かつて k = kcrit(γ) のときに限り消えることから、水桶の平坦性条件と同等の幾何的基準が確立される。