[論文レビュー] A non-amenable groupoid whose maximal and reduced $C^*$-algebras are the same

Rufus Willett|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、非可換なトポロジカルなアーベル性を有するが、最大および減少C*-代数が同型である、局所コンパクトでハウスドルフ的かつ第二可算なエタール群コアッドを構成する。この構成は、Higson, Lafforgue, Skandalisによる Baum-Connes予想の反例を応用し、LubotzkyとShalomの性質FDを用いて、非可換性にもかかわらずC*-代数の等価性を保証する。これにより、群コアッドにおいては、可換性の逆命題が成り立たないことが示される。

ABSTRACT

We construct a locally compact groupoid with the properties in the title. Our example is based closely on constructions used by Higson, Lafforgue, and Skandalis in their work on counterexamples to the Baum-Connes conjecture. It is a bundle of countable groups over the one point compactification of the natural numbers, and is Hausdorff, second countable and étale.

研究の動機と目的

• 群コアッドにおいて、『トポロジカルな可換性 ⇒ C*-代数の等価性』という含意の逆が成り立たないことを示すこと。
• 非可換な群コアッドの具体例を提示し、その最大および減少C*-代数が一致することを示すこと。
• エタール群コアッドの文脈において、トポロジカルな可換性、測度的可換性、およびC*-代数の等価性の関係を明確にすること。
• C*-代数の等価性が可換性を意味するかどうかという、長年の未解決問題に応えること。

提案手法

• Baum-Connes予想の反例に用いられたHigson, Lafforgue, Skandalisによる群コアッド構成を応用する。
• 自然数の一点コンパクト化上に、可算群のバンドルとして群コアッドを構成する。
• LubotzkyとShalomの性質FDを用いて、群コアッドの最大および減少C*-代数が同型であることを保証する。
• エタール群コアッドでは、トポロジカルな可換性と測度的可換性が同値であるが、C*-代数の等価性の含意の逆は成り立たないことを用いる。
• 群コアッドの構造を分析し、トポロジカルに可換でないが、依然として C*max(G) = C*red(G) を満たすことを示す。
• 既知の結果、特に正確性と交叉積に関する結果を用いて、非可換な場合に正確性が成り立たないことを示し、群コアッドの非可換性を強化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群コアッドにおいて、最大および減少C*-代数の等価性がトポロジカルな可換性を意味するのか、群の場合と同様に成り立つかどうか。
• RQ2 非可換な群コアッドが、同型な最大および減少C*-代数を持つことは可能か。
• RQ3 トポロジカルな可換性が成立しない場合、測度的可換性とC*-代数の等価性の関係は何か。
• RQ4 変換群コアッドまたは主群コアッドが、同型なC*-代数を持つが可換でない例はあるか。
• RQ5 結果を粗い群コアッドや粗い幾何学におけるユニフォーム・ローエ代数に拡張できるか。

主な発見

• 本稿は、局所コンパクトで、ハウスドルフ的かつ第二可算で、エタールな群コアッドの具体例を構成し、その群コアッドはトポロジカルに可換でない。
• 非可換性にもかかわらず、その群コアッドの最大および減少C*-代数は同型であり、すなわち C*max(G) = C*red(G) が成り立つ。
• この例は、自然数 ℕ の一点コンパクト化上に、性質FDを持つ有限部分群の列を用いた、可算群のバンドルとして構成される。
• 構成は、性質FDが群コアッドの減少C*-代数が正確であることを保証するという事実に依存しており、これが最大および減少完備化の同型性の鍵となる。
• この結果により、C*max(G) = C*red(G) が成り立つためにはトポロジカルな可換性が必須ではないことが示され、Hulanickiの定理の自然な群コアッドへの拡張が否定される。
• この例は、測度的可換性がC*-代数の等価性を意味するとは限らず、また変換群コアッドや主群コアッドの状況におけるその性質が解決されるわけではない。