[論文レビュー] A Non-associative Baker-Campbell-Hausdorff formula

Jacob Mostovoy, José M. Pérez-Izquierdo+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非可換代数におけるShestakov-Umirbaev原始的作用素を用いて、非可換バーゲン＝キャンベル＝ハウスドルフ（BCH）公式の非可換版を開発する。非可換Dynkin-Specht-Wever補題と再帰的Magnus展開を導入し、BCH級数を4次まで計算し、可換性が課された場合には古典的公式が回復されることを示す。

ABSTRACT

We address the problem of constructing the non-associative version of the Dynkin form of the Baker-Campbell-Hausdorff formula; that is, expressing $\log (\exp (x)\exp(y))$, where $x$ and $y$ are non-associative variables, in terms of the Shestakov-Umirbaev primitive operations. In particular, we obtain a recursive expression for the Magnus expansion of the Baker-Campbell-Hausdorff series and an explicit formula in degrees smaller than 5. Our main tool is a non-associative version of the Dynkin-Specht-Wever Lemma. A construction of Bernouilli numbers in terms of binary trees is also recovered.

研究の動機と目的

• 可換性が成り立たない非可換代数への古典的バーゲン＝キャンベル＝ハウスドルフ公式の拡張を、Dynkin-Specht-Wever補題の一般化によって達成すること。
• 原始的作用素を用いて、2つの非可換指数関数の積の非可換対数を定義し、計算すること。
• 一般化されたMagnus展開を用いて、非可換BCH級数を再帰的に計算する方法を提供すること。
• 非可換設定下で二分木を用いてベルヌーイ数がどのように現れるかを明らかにすること。
• Sabinin代数と普遍包あらゆる代数に基づく非可換リー理論の枠組みを確立すること。

提案手法

• 自由非可換代数における $x$ と $y$ の生成元に対して、非可換指数写像 $\exp_l(x) = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{n!} (\cdots((xx)x)\cdots)x $ を導入する。
• 非可換対数 $\log_l(\exp_l(x)\exp_l(y))$ をShestakov-Umirbaev原始的作用素の級数として定義する。
• 非可換版のDynkin-Specht-Wever補題を用いて、対数を単項式のカットの形で表現する。
• 一般化されたMagnus展開を適用し、$X'(t) = X(t)A(t)$ を満たす $\Omega(t)$ に対する微分方程式を導出し、再帰的公式を得る。
• BCHカットを $x^i y^j$ の形のブランチへの単項式の分解として特徴づけ、組合せ的和を用いて係数を計算可能にする。
• 係数を $c_\tau = \frac{B_\tau}{\tau!}$ で計算し、ここで $B_\tau$ は $\log_l(1+x)$ の係数であり、すべての有効なBCHカットについて和を取る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換性が成り立たない非可換代数において、バーゲン＝キャンベル＝ハウスドルフ公式をどのように一般化できるか？
• RQ2 非可換版のDynkin-Specht-Wever補題とは何か？ そして、$\log_l(\exp_l(x)\exp_l(y))$ の展開をどのように容易にするか？
• RQ3 非可換設定に適応可能なMagnus展開は、BCH級数を再帰的に計算するために利用可能か？
• RQ4 非可換変数において、BCH級数の4次までの明示的形は何か？
• RQ5 ベルヌーイ数は非可換代数と二分木の文脈でどのように現れるか？

主な発見

• 非可換BCH公式は4次まで明示的に計算され、$\mathrm{BCH}_l(x,y) = x + y + \frac{1}{2}[x,y] + \frac{1}{12}[x,[x,y]] - \frac{1}{3}\langle x;x,y\rangle - \cdots$ を得る。
• すべての非可換作用素が消えるとき、この公式は正確に古典的バーゲン＝キャンベル＝ハウスドルフ級数に還元される。
• $\log_l(\exp_l(x)\exp_l(y))$ における $x^m y^n$ の係数は、$n \geq 2$ のとき $\frac{1}{m!n!}$、$n = 1$ のとき $\frac{m}{(m+1)!}$ である。
• $x^2y$ の係数は $\frac{1}{3}$ であり、$\frac{c_x}{2} + \frac{c_{x^2}}{2} + c_{x^2x} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$ として計算される。
• $x(xy)$ の係数は $-\frac{1}{4}$ であり、$c_{x^2} + c_{xx^2} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ から導出される。
• この論文は、非可換設定下で二分木を用いたベルヌーイ数の構成を再現している。