[論文レビュー] A non-commutative algorithm for multiplying (7 $\ imes$ 7) matrices using 250 multiplications

Alexandre Sedoglavic|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2017

graph theory and CDMA systems参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、7×7行列の積を250回のスカラ乗算で行う非可換なアルゴリズムを提示している。これは、以前の上界である258を改善したものである。この手法は、ストラッセの分割統治法と、既知の長方形行列乗算の高速アルゴリズムを組み合わせており、特にスミルノフの4×4および3×4の部分問題に対する結果を活用することで、総乗算回数を削減している。

ABSTRACT

We present a non-commutative algorithm for multiplying (7x7) matrices using 250 multiplications and a non-commutative algorithm for multiplying (9x9) matrices using 520 multiplications. These algorithms are obtained using the same divide-and-conquer technique.

研究の動機と目的

• 7×7行列乗算に必要な乗算回数の新しい上界を確立すること。
• 非可換行列代数を用いた分割統治的手法を拡張し、計算複雑度を低減すること。
• 7×7行列乗算における以前に知られていた258回の乗算という上界を改善すること。
• この手法を9×9などのより大きな行列に適用した際の限界を調査すること。
• この手法の有効性が、現在の長方形行列に対する高速アルゴリズムの知識に制限されることを示すこと。

提案手法

• アルゴリズムは、7×7行列乗算をより小さな部分問題に分解するために、ストラッセの2×2行列乗算公式を再帰的に適用する。
• 8×8行列にゼロ行とゼロ列を追加することで、7×7行列を8×8行列にパディングし、4×4ブロック構造への再帰的適用を可能にするブロック行列分解を用いる。
• この手法は、(u+v)×(u+v)行列の乗算の複雑度を、より小さいu×uおよびv×v部分問題の複雑度で上界で評価する、重要な不等式（命題1）に依存している。
• 特に、(2×3)×(3×4)、(2×4)×(4×3)、(2×3)×(3×5)乗算に対するスミルノフのアルゴリズムを含む、既知の長方形行列の高速アルゴリズムを組み合わせることで、総乗算回数を最小化する。
• テンソル表現とトレースの同値性を用いて、行列乗算の双一次形式を解釈し、部分乗算に対応するトレース項への分解を可能にする。
• 最終的なアルゴリズムは、これらの部分乗算の結果を統合することで構築され、7×7積行列の正しい再構成を250回の乗算で達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 7×7行列乗算に、258回未満の乗算を用いた非可換行列乗算アルゴリズムを構築することは可能か？
• RQ2 ストラッセの手法と長方形行列アルゴリズムの組み合わせが、正方行列乗算における総乗算回数に与える影響は何か？
• RQ3 9×9行列にこの分割統治的手法を適用した場合の理論的限界は何か？
• RQ4 この手法の性能は、長方形行列に対する高速アルゴリズムの可用性にどの程度制限されているか？
• RQ5 このフレームワークは、7×7や9×9を越える他の行列サイズに対しても一般化可能か？

主な発見

• 本論文は、7×7行列乗算の新しい上界250回の乗算を達成し、以前の知られていた258回という上界を改善した。
• アルゴリズムは、2×2ブロックにおけるストラッセの手法と最適化された長方形部分問題を用いて構築されており、特にスミルノフの(4×4)×(4×3)および類似サイズの高速アルゴリズムを活用している。
• 9×9行列乗算では、520回の乗算という上界が得られたが、これは既知の514回乗算のアルゴリズムより2回多いが、以前の上界に比べて顕著な改善を示している。
• この手法の性能は、長方形行列乗算の高速アルゴリズムに関する現在の知識に制限されており、520と514の差がその限界を示している。
• このフレームワークは一般化可能であり、(8×8)、(9×9)、(10×10)行列の上界を同様の再帰的分解により導出することで、他の行列サイズへの応用が可能であることが示された。
• このアルゴリズムの成功は、効率的な長方形行列乗算アルゴリズムの可用性に強く依存しており、これが現在の改善の限界を規定している。