[論文レビュー] A Non Convex Singular Stochastic Control Problem and its Related Optimal Stopping Boundaries

Tiziano De Angelis, Giorgio Ferrari+1 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 37被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、価格が確率的で負の値を取る可能性がある電力貯蔵をモデル化する非凸な無限時間スコアル制御問題を研究している。最適制御方策には、反射境界と反発境界の両方が含まれる。本稿は、このような非凸問題と最適停止問題との間の新しい関係を確立し、価値関数が滑らか-fit 条件を満たす自由境界問題に従うことを示し、最適制御が任意停止機能を備えた単調フォロワー型であることを示している。

ABSTRACT

Equivalences are known between problems of singular stochastic control (SSC) with convex performance criteria and related questions of optimal stopping, see for example Karatzas and Shreve [SIAM J. Control Optim. 22 (1984)]. The aim of this paper is to investigate how far connections of this type generalise to a non convex problem of purchasing electricity. Where the classical equivalence breaks down we provide alternative connections to optimal stopping problems. We consider a non convex infinite time horizon SSC problem whose state consists of an uncontrolled diffusion representing a real-valued commodity price, and a controlled increasing bounded process representing an inventory. We analyse the geometry of the action and inaction regions by characterising their (optimal) boundaries. Unlike the case of convex SSC problems we find that the optimal boundaries may be both reflecting and repelling and it is natural to interpret the problem as one of SSC with discretionary stopping.

研究の動機と目的

• 負の価格をとる可能性がある確率的価格を伴う電力貯蔵に生じる非凸特異確率的制御問題を分析すること。
• 非凸設定において、特異制御と最適停止の間の古典的凸性の同等性がどのように崩れるかを調査すること。
• 行動領域と非行動領域の幾何構造、特に両方の境界が反射的かつ反発的である最適境界を特定すること。
• 自由境界問題と滑らか-fit 条件を通じて、非凸特異制御と最適停止の間の新しい関係を確立すること。
• 有界在庫と平均回帰価格過程を持つ有限燃料で不可逆な投資問題のための解法フレームワークを提供すること。

提案手法

• 状態過程 $X_t$（平均回帰オーナイッシュ・ウーレン過程）と制御された在庫 $C_t = c + \nu_t$ を持つ2次元特異制御問題を定式化する。
• 最適性の必要条件を導出するためにハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式を用い、滑らか-fit 条件および自由境界条件を含む。
• 走行コストと制御コストを含む期待コスト関数の下限として価値関数 $U(x,c)$ を分析する。
• 価格過程の走行下限に基づく単調フォロワー政策により最適制御 $\nu^*$ を特徴付ける。
• 一様可積分性と極限の議論を用いた検証により、特異制御問題と最適停止問題との間の同等性を確立する。
• 滑らか貼付技術を用いて、候補価値関数が HJB 方程式および境界条件を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な特異制御と最適停止の間の関係は、非凸設定ではどのように失敗し、どのような代替的関係を確立できるか？
• RQ2 有界在庫を持つ非凸特異制御問題における行動領域と非行動領域の幾何的構造は何か？
• RQ3 性能基準が非凸である場合、最適制御方策は任意停止機能を備えた単調フォロワー型として特徴付けられるか？
• RQ4 反射的および反発的境界は、非凸問題における最適制御方策において果たす役割は何か？
• RQ5 負の電力価格の存在が、最適制御および価値関数の構造に与える影響は何か？

主な発見

• 行動領域と非行動領域における最適境界は、両方とも反射的かつ反発的であり、特異制御と任意停止の両方の特徴を併せ持つハイブリッド制御方策を示している。
• 価値関数 $U(x,c)$ は、最適境界 $\beta_*(c)$ で滑らか-fit 条件を満たす自由境界問題に従い、境界で $C^1$ 正則性が保証されている。
• 最適制御 $\nu^*$ は $\nu_t^* = \left[ g_*(\inf_{s \leq t} X_s) - c \right]^+$ の形をとり、$g_*$ は $[0,1]$ への減少関数であるため、単調フォロワー政策であることが示された。
• 検証議論により、特異制御問題は最適停止問題と同等であることが示され、特異制御問題の価値関数は、停止時刻の上での期待割引報酬の上限に等しい。
• 最適境界 $\beta_*(c)$ は $\beta_*(c) < \hat{x}_0(c)$ を満たし、$\hat{x}_0(c)$ はある補助方程式の解である。これにより、滑らか-fit 条件の有効性が保証される。
• 価値関数は有界かつ一様可積分的であり、検証プロセスにおける極限議論の適用が可能となり、候補解の最適性が確認された。