[論文レビュー] A non-coordinatizable sectionally complemented modular lattice with a large J\\'onsson four-frame

Friedrich Wehrung|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2010

Rings, Modules, and Algebras参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、1962年にヨンソンが提起した未解決問題を解決するため、基数 ℵ₁ で非座標化可能な部分補完モジュラー格子を、大きな4フレームを備えて構成する。バナシエフスキー関数とインデックス3のユニット正則環を用いて、大きな4フレームの存在が座標化可能性を示さないことを示し、座標化可能な補完モジュラー格子のイデアルであっても、それが座標化可能でない場合があることを示している。

ABSTRACT

A sectionally complemented modular lattice L is coordinatizable if it is isomorphic to the lattice L(R) of all principal right ideals of some von Neumann regular (not necessarily unital) ring R. We say that L has a large 4-frame if it has a homogeneous sequence (a_0,a_1,a_2,a_3) such that the neutral ideal generated by a_0 is L. J\\'onsson proved in 1962 that if L has a countable cofinal sequence and a large 4-frame, then it is coordinatizable; whether the cofinal sequence assumption could be dispensed with was left open. We solve this problem by finding a non-coordinatizable sectionally complemented modular lattice L with a large 4-frame; it has cardinality aleph one. Furthermore, L is an ideal in a (necessarily coordinatizable) complemented modular lattice with a spanning 5-frame. Our proof uses Banaschewski functions. A Banaschewski function on a bounded lattice L is an antitone self-map of L that picks a complement for each element of L. In an earlier paper, we proved that every countable complemented modular lattice has a Banaschewski function. We prove that there exists a unit-regular ring R of cardinality aleph one and index of nilpotence 3 such that L(R) has no Banaschewski function.

研究の動機と目的

• 格子論における長年の未解決問題を解消すること：部分補完モジュラー格子に大きな4フレームが存在する場合、それが座標化可能であるかどうか。
• ヨンソンの1962年の予想（大きな4フレームが座標化可能性を示すが、可算な共終列を必要としない）の反例を構成すること。
• 座標化可能な補完モジュラー格子のイデアルが、大きな5フレームを備えても座標化可能でないことがあることを示すこと。
• 大きな4フレームを備えた座標化可能な部分補完モジュラー格子のクラスが、一階論理で定義可能でないことを確立すること。

提案手法

• 基数 ℵ₁ で、冪零指数3のユニット正則環 R を構成し、L(R)（主右イデアルの格子）にバナシエフスキー関数が存在しないことを示す。
• コンデンセートリフト補題を用いて、商格子からより大きな格子へバナシエフスキー関数をリフトし、大きな4フレームを備えた非座標化可能な格子を構成する。
• 直接極限と格子の有限積を用いて、大きな5フレームを備えた補完モジュラー格子 L′ を構成し、L′ が座標化可能であることを保証する。
• 構成された格子 L が L′ のイデアルに同型であることを示し、環の積におけるイデアルの構造と同調列の性質を活用する。
• バナシエフスキー跡の理論を適用し、大きな4フレームを備えた格子において、バナシエフスキー跡の存在が座標化可能性と同値であることを示す。
• モデル理論的技法（初等的部分格子、一階論理）を用いて、大きな4フレームを備えた座標化可能な格子のクラスが一階論理で定義可能でないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分補完モジュラー格子に大きな4フレームが存在する場合、可算な共終列が存在しないとしても、座標化可能であると示されるか？
• RQ2 大きな4フレームを備えた非座標化可能な部分補完モジュラー格子は存在しうるか？ もし存在するならば、どのような構造的性質を満たさなければならないか？
• RQ3 大きな4フレームを備えた座標化可能な部分補完モジュラー格子のクラスは、一階公理化可能か？
• RQ4 座標化可能な補完モジュラー格子のイデアルが、周囲の格子に大きな5フレームが存在しても、座標化可能でないことがあるか？
• RQ5 格子にバナシエフスキー関数が存在しないことは、特にユニット正則環の文脈において、非座標化可能性を示唆するか？

主な発見

• 基数 ℵ₁ で大きな4フレームを備えた非座標化可能な部分補完モジュラー格子 L が明示的に構成され、ヨンソンの1962年の問いに対する否定的解答が得られた。
• 格子 L は、大きな5フレームを備えた補完モジュラー格子 L′ に同型であり、L′ は座標化可能である。このことから、座標化可能な格子のイデアルが座標化可能でないことがあることが示された。
• 基数 ℵ₁ で冪零指数3のユニット正則環 R を構成し、L(R) にバナシエフスキー関数が存在しないことを示した。このことは L(R) が座標化可能でないことを示唆する。
• 格子 L は4/5-完全であり、L のすべての主イデアルは座標化可能であるが、L 自身は座標化可能でない。
• 座標化可能な部分補完モジュラー格子のクラスに大きな4フレームを備えたものが、一階論理で定義可能でないことが、可算な初等的部分格子を構成することで示された。この部分格子は座標化可能であるが、L 自身はそうではない。
• 大きな4フレームを備えた格子において、バナシエフスキー跡の存在が座標化可能性と同値であることが示された。構成された格子 L はそのような跡を備えていないため、非座標化可能性が確認された。