[論文レビュー] A Non-Differentiable Quantum Variational Embedding in Presence of Time Delays

Gastão S. F. Frederico, Delfim F. M. Torres|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、Cressonのスケール微分積分法を用いて、時間遅れを伴うラグランジュ系およびハミルトニアン系の非微分可能量子変換埋め込みを提案する。古典的微分をスケール微分に置き換え、変分における因果性を強制することで、非微分可能な設定においても物理的整合性を保つ一貫した最小作用原理を確立する。この原理により、一貫性のあるオイラー＝ラグランジュ方程式およびハミルトニアン方程式が得られ、時間遅れを伴う非微分可能な系においても整合性が保たれる。

ABSTRACT

We develop Cresson's non-differentiable embedding to quantum problems of the calculus of variations and optimal control with time delay. Main results show that the dynamics of non-differentiable Lagrangian and Hamiltonian systems with time delays can be determined, in a coherent way, by the least-action principle.

研究の動機と目的

• Cressonの非微分可能な変分積分法を、時間遅れを伴う系へと拡張すること。
• 時間遅れの存在下でも変分埋め込みの整合性を保つために、許容可能な変動の集合を制限すること。
• 非微分可能なラグランジュ的およびハミルトニアン的力学における、一貫性のあるスケールオイラー＝ラグランジュ方程式およびハミルトニアン系（遅れ付き）を導出すること。
• スケール微分およびポントリャーギン型極値を用いて、非微分可能な時間遅れ付きの最適制御理論を一般化すること。
• 得られた力学系が、非微分的かつ遅れ付きの系において、整合性の原理を満たしていることを検証すること。

提案手法

• 非微分可能な関数に対する古典的微分を一般化するために、左および右の$ε$-微分の複素結合として定義されるCressonのスケール微分作用素を用いる。
• 遅延付きの関数を含むスケール微分積分法を用いて、時間遅れ付きの変分問題を定式化する。
• 将来および過去の遅れに制限された摂動を導入することで、変分プロセスにおける因果性を強制し、一貫性のある力学系を確保する。
• 最小作用原理を用いて、スケール微分を用いた非微分可能な時間遅れ付きラグランジュ系のスケールオイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• 共ベクトル関数$p(t)$を導入することで、スケールハミルトニアン形式を構築し、遅れ付きのスケールハミルトニアン系を導出する。
• 拡張された関数にラグランジュ乗数法を適用し、必要条件を導出することで、スケールポントリャーギン極値を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケール微分積分法を用いて、非微分可能なラグランジュ系に最小作用原理を一貫して適用できるか？
• RQ2 非微分可能な系に時間遅れが存在する場合、変分プロセスにおける因果性をどのように強制することで整合性を保てるか？
• RQ3 非微分可能な時間遅れ付き変分問題におけるスケールオイラー＝ラグランジュ方程式は何か？
• RQ4 非微分可能な最適制御問題に時間遅れが存在する場合、スケールハミルトニアン形式はどのように構築されるか？
• RQ5 得られたスケールポントリャーギン極値枠組みは、非微分的かつ遅れ付きの系において整合性の原理を保っているか？

主な発見

• 変動を因果的集合に制限することで、時間遅れ付きの非微分可能なラグランジュ系の埋め込みは一貫しており、物理的整合性が保証される。
• スケール微分を用いた最小作用原理により、時間遅れ付きのスケールオイラー＝ラグランジュ方程式が導出され、古典的結果が非微分可能な曲線へと一般化される。
• スケール微分と随伴変数によって支配される、一貫性のある遅れ付きスケールハミルトニアン系が確立される。
• スケールポントリャーギン極値は古典的極値を一般化しており、微分可能極限においてそれらに還元され、一貫性が確認される。
• 導出されたスケールハミルトニアン系は、必要最適性条件を満たしており、随伴変数$p(t)$がスケール微分を介して一般化運動量と関連している。
• 時間遅れ付きの最適制御設定において、整合性の原理が保たれている。これは、拡張された関数から一貫した必要条件が導出されたことにより示された。