[論文レビュー] A non-ergodic probabilistic cellular automaton with a unique invariant measure

Philippe Chassaing, Jean Mairesse|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2010

Cellular Automata and Applications参考文献 15被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、サイズ2の近傍を持つ1次元確率的セルオートマトン（PCA）を構築し、一意な不変測度を持つが非エルゴード的である例を提示する。これは、不変測度の一意性がエルゴード性を意味しないことを示すものであり、初期状態からいかなる状態にも収束しないように、偶数時刻と奇数時刻で二つの異なる測度を交互に取り、PCA理論における未解決の問題を反例によって解決する。

ABSTRACT

We exhibit a Probabilistic Cellular Automaton (PCA) on the integers with an alphabet and a neighborhood of size 2 which is non-ergodic although it has a unique invariant measure. This answers by the negative an old open question on whether uniqueness of the invariant measure implies ergodicity for a PCA.

研究の動機と目的

• 確率的セルオートマトン（PCA）において、不変測度の一意性がエルゴード性を意味するかどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• 一意な不変測度を持つが非エルゴード的であるPCAの具体例を構築すること。
• PCAにおいて、一意的ではあるが吸引的でない不変測度の「中間ケース」が存在することを示し、相互作用粒子系（IPS）の既知の結果と対比すること。
• 主な構成を支援するため、補助的なPCAモデルの1次元周辺分布の正確な計算を提供すること。

提案手法

• 一意な不変測度を持つが吸引的でない主なPCAモデルAを導入し、二つの異なる測度を周期的に交互に取り、弱収束がいかなる初期状態からも成立しないことを示す。
• 二つの補助PCAモデルを定義する：モデルB（消滅粒子）とモデルC（融合粒子）。これらはモデルAのダイナミクスを分析するために用いられる。
• モデルBおよびCの1次元周辺分布の正確な計算を実施し、特に$1/\sqrt{n}$のオーダーでの収束速度を示す。
• 色のルールに従い、消滅または融合する3色PCAモデルDを構築し、射影$\pi_B$および$\pi_C$を用いてモデルDをモデルBおよびCと関連付ける。
• 連続時間IPS文脈で知られているカップリング技法を、離散時間PCAモデルに適応して、モデル間の性質を証明する。
• 融合ルールの下で一様な色分布が不変であることを用いて、初期のi.i.d.配置が射影測度においても一様性を保つことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元確率的セルオートマトンにおいて、不変測度の一意性はエルゴード性を意味するか？
• RQ2 一意な不変測度を持つが吸引的でないPCAが存在するか？ その場合、エルゴード性が破れる。
• RQ3 時間の経過とともに二つの異なる測度を交互に取り、収束を妨げるPCAを構築することは可能か？
• RQ4 PCAモデルにおける1次元周辺分布の正確な計算を用いて、不変測度の一意性があるにもかかわらず非エルゴード的であることを証明できるか？
• RQ5 消滅または融合粒子を有するPCAモデルにおいて、不変測度への収束速度はいかほどか？

主な発見

• 本稿は、一意な不変測度を持つが吸引的でない1次元PCA（モデルA）を構築し、非エルゴード的であるが一意な不変測度を持つ「中間ケース」の存在を証明した。
• モデルAは測度$\mu_0$を$\mu_1$に、$\mu_1$を$\mu_0$に写すため、系はそれらの間を周期的に交互に移動し、いかなる初期状態からも弱収束が成立しない。
• モデルC（融合粒子）の1次元周辺分布は、定理5.2で示されるように、$1/\sqrt{n}$のオーダーで不変測度に収束する。
• モデルAおよびBについても、命題6.1で示されるように、1次元周辺分布は$1/\sqrt{n}$のオーダーで収束する。
• 特定の融合ルールを有する3色PCAモデルDはエルゴード的であり、一意な不変測度$\delta_{\circ^{\mathbb{Z}}}$を持つ。その射影$\pi_B$および$\pi_C$は、それぞれモデルBおよびCの実現をもたらす。
• モデルDにおいて、初期の色分布は融合の下でも一様のままであるため、$\mathbb{P}(\pi_B(D_{0,n}) = \bullet) = \frac{1}{2} d_n$が成り立ち、ここで$d_n$はモデルCの1サイト周辺分布である。