[論文レビュー] A non FLC regular pentagonal tiling of the plane

Maria Ramirez-Solano|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2013

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、複素数スケーリングを用いた置換規則によって構成された、平面の等角的正則五角形タイル張り継ぎ目が、等角的同型写像の下で有限局所的複雑性（FLC）を満たさないことを示している。組合せ的構造が明確に定義された等角的置換タイル張りであるにもかかわらず、等角的同値の下で無限個の異なるタイル形状を含み、FLCを破り、この群作用の下でのハルのコンパクト性を否定する。

ABSTRACT

In this paper we describe the pentagonal tiling of the plane defined in the article "A regular pentagonal tiling of the plane" by P. L. Bowers and K. Stephenson as a conformal substitution tiling and summarize many of its properties given in the mentioned article. We show furthermore why such tiling is not FLC with respect to the set of conformal isomorphisms.

研究の動機と目的

• 平面の等角的正則五角形タイル張りを、複素数スケーリングを用いた等角的置換タイル張りとして特徴づけること。
• 位相的力学系とハル構成の枠組みを用いてタイル張りの性質を分析すること。
• このタイル張りが、等角的同型写像の群に関して有限局所的複雑性（FLC）を満たすかどうかを調査すること。
• 等角的同型写像の下でFLCが成立しないのは、非等角的に同値でないタイル形状が無限個存在するためであり、これを示すこと。
• 非等長的設定、特に等角幾何においてFLCの限界を明確にし、代替的な複雑性の概念を提案すること。

提案手法

• BowersとStephensonの研究に基づき、λ = (−324)^{1/5} という複素スケーリング因子を用いて、タイル張りを等角的置換タイル張りとして構成する。
• タイル張りを複素平面における幾何的実現に変換するため、等角写像Φを適用し、解析接続によりタイルを領域に写像する。
• 置換規則ω = Φ⁻¹ ∘ α ∘ Φを用い、α(z) = λz により、スーパータイルの逐次近似を生成する。
• ハウスドルフ距離を用いてタイルの境界の収束を分析し、正規化されたタイルがb ≈ 1.3のスケーリングで極限形状に収束することを示す。
• 軌道集合O(T)に距離dを導入し、O(T)の完備化として連続的ハルΩ_Tを構成し、位相的力学系の解析を可能にする。
• 定理6.2で背理法を用いて、等角的同型写像の下でFLCが成立しないのは、有界な直径を持つ非類似タイルが無限個存在するためであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等角的正則五角形タイル張りは、有限個のプロトタイルと複素数スケーリングを用いた等角的置換タイル張りとして記述可能か？
• RQ2 このタイル張りは、等角的同型写像の群に関して有限局所的複雑性（FLC）を満たすか？
• RQ3 タイル張りのハルの幾何的・位相的挙動は、等角的同値性の下でどのように振る舞い、古典的FLCとどのように異なるか？
• RQ4 標準的なFLCの概念が等角的設定でなぜ失敗するのか、そしてどのような代替的複雑性基準が適用可能か？
• RQ5 幾何的FLCが失敗する中でも、部分複体間の同型写像の下で組合せ的FLCは保たれるか？

主な発見

• タイル張りは、複素スケーリング因子λ = (−324)^{1/5} を用いて生成された等角的置換タイル張りであり、各プロトタイルが等角的にスケーリングされたコピーに置き換えられる。
• 中心タイルτ₀はΦにより複素平面内の領域τ₀に写像され、逐次近似tₙ = Φ₁(Kₙ)はハウスドルフ距離でτ₀に収束する。
• 列(τⱼⁿ)からの正規化されたタイルは、ハウスドルフ距離でb·b̄τ₀に収束し、b ≈ 1.3である。これはスケーリング下での極限形状を示している。
• タイル張りには、直径がb·diam(τ₀)未満で、b ≈ 1.3であるような無限個のタイルが存在し、そのうちのいかなる2つも等角的に同値でない。
• 等角的同型写像の群の下で、このタイル張りはFLCを満たさない。これは、有界なサイズの非等角的に同値でないタイルが無限個存在するためである。
• FLCが成立しない場合、ハルΩ_Tは標準距離の下でコンパクトではなくなり、群作用は最小性や推移性といった重要な位相的性質を失う。