[論文レビュー] A Non-Gaussian Option Pricing Model with Skew

L. Borland, J. P. Bouchaud|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2004

Stochastic processes and financial applications被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、1つのランダム要因に基づく確率的ボラティリティ枠組みを拡張することで、歪みと重たい尾を持つリターン分布を組み込んだ非ガウス型オプションプライシングモデルを提案する。一般化されたフォッカー＝プランク方程式とスケーリング解を用い、複数の満期にわたる市場実証データに適合する、ヨーロピアン・コール・プライスの閉形式近似を導出する。特定の状況ではブラック・ショールズおよびCEV極限を回復する。

ABSTRACT

Closed form option pricing formulae explaining skew and smile are obtained within a parsimonious non-Gaussian framework. We extend the non-Gaussian option pricing model of L. Borland (Quantitative Finance, {\bf 2}, 415-431, 2002) to include volatility-stock correlations consistent with the leverage effect. A generalized Black-Scholes partial differential equation for this model is obtained, together with closed-form approximate solutions for the fair price of a European call option. In certain limits, the standard Black-Scholes model is recovered, as is the Constant Elasticity of Variance (CEV) model of Cox and Ross. Alternative methods of solution to that model are thereby also discussed. The model parameters are partially fit from empirical observations of the distribution of the underlying. The option pricing model then predicts European call prices which fit well to empirical market data over several maturities.

研究の動機と目的

• 市場の歪みと重たい尾を持つリターン分布を捉える、パラメータを最小限に抑えた非ガウス型オプションプライシングモデルの開発。
• 追加のランダム要因を導入せずに、ボラティリティと株価の相関を用いてレバレッジ効果を組み込むこと。
• 複数の満期にわたる実証的市場データに適合する、ヨーロピアン・コール・オプションの閉形式近似解の導出。
• 極限状態において、標準的なブラック・ショールズおよびCEVモデルに還元されることの保証。
• 純粋にキャリブレーションに基づくローカル・ボラティリティ手法の欠陥を避ける、動的整合性を持つモデルの提供。

提案手法

• ボラティリティと株価の相関を導入することで、ボルランド（2002）の非ガウス型モデルを拡張し、レバレッジ効果と整合する。
• パワーロー・テイルを持つ非ガウス型レヴィ過程における株価ダイナミクスの一般化されたフォッカー＝プランク方程式を導出する。
• 仮想次元における非線形径数拡散方程式に還元するため、スケーリングアンサッツを用いる。
• 非線形拡散方程式を、有効次元 $d'$ における標準的な径数拡散方程式に変換する変数変換を適用する。
• 球面上の等方的初期条件に対して、ベッセル関数と重ね合わせの原理を用いて、変換された方程式を解く。
• 変換された拡散方程式の解を用いて、ヨーロピアン・コール・オプション価格の近似閉形式解を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パワーロー・テイルと歪みを持つ非ガウス型確率過程が、コールド・スメール・サーフェスへのキャリブレーションなしに、観察されたオプション市場価格を再現できるか。
• RQ2 1つのランダム要因フレームワーク内で、レバレッジ効果を一貫的にモデル化する方法は何か。このフレームワークは市場完全性を保つ。
• RQ3 対象資産リターン分布が対数正規分布から逸脱し、歪みと重たい尾を持つ場合、オプションプライシング式の解析的構造はどのようになるか。
• RQ4 極限状態において、モデルの解が標準的なブラック・ショールズおよびCEVモデルとどのように関係するか。
• RQ5 インプライド・ボラティリティ・サーフェスへのフィッティングなしに、複数の満期にわたる正確なオプション価格をモデルが得られるか。

主な発見

• 本モデルは、複数の満期にわたる実証的市場データに高い精度で適合する、ヨーロピアン・コール・オプションの閉形式近似解を生成する。
• ガウス型リターンの極限（$q=1$, $ u=1$）において、標準的なブラック・ショールズモデルに還元される。また、定数エラスティシティ・ボラティリティの極限ではCEVモデルに還元される。
• 一般化されたフォッカー＝プランク方程式は、変数変換とスケーリングアンサッツを用いて、有効次元 $d'$ における径数拡散方程式に変換される。
• 初期条件は、$d'$次元における超球面上の $ ho$-関数に対応し、ベッセル関数と角度積分を用いて解ける。
• 本モデルは、実証的金融リターンの観察と整合的である、$q=3$ のパワーロー・テイル指数を用いて、歪みと重たい尾を捉える。
• ローカル・ボラティリティ・モデルの動的整合性の欠陥を回避するため、観測されたオプション価格へのキャリブレーションではなく、真の確率過程に基づく。