[論文レビュー] A non-linear Schrodinger type formulation of FLRW scalar field cosmology

Jennie D’Ambroise, Floyd L. Williams|ArXiv.org|Sep 19, 2006

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、完全流体を伴うフレリッドマン＝ラメートル＝ロバートソン＝ウォーカー（FLRW）スカラー場宇宙論に対して、非線形シュレーディンガー型方程式の新規定式化を確立し、アインシュタイン場方程式の正確な解を導出する代替手法を提供する。主な貢献は、FLRW方程式の解と非線形シュレーディンガー型方程式の解との間の直接的対応関係を確立したことであり、スペクトル法を用いて正確な宇宙論的モデルを構築可能にする。

ABSTRACT

We show that the Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker equations with scalar field and perfect fluid matter source are equivalent to a suitable non-linear Schrodinger type equation. This provides for an alternate method of obtaining exact solutions of the Einstein field equations for a homogeneous, isotropic universe.

研究の動機と目的

• 均一かつ等方的なスカラー場宇宙論の代替定式化を、既存のエルマコフ＝ミルン＝ピニー法とは異なる非線形シュレーディンガー型方程式を用いて開発すること。
• FLRW宇宙論におけるアインシュタイン場方程式の解と、べき乗非線形性を有する時間に依存しない非線形シュレーディンガー方程式の解との間の直接的対応関係を確立すること。
• 指定されたポテンシャルおよびエネルギーパラメータを有する非線形シュレーディンガー方程式を解くことにより、アインシュタイン方程式の正確な解を体系的に構築する手法を提供すること。
• 本手法が、ストリングに由来する宇宙論やエリス＝マドセン型モデルを含む既知の解に適用可能であることを示し、非ゼロの物質密度を持つ場合へと拡張すること。

提案手法

• 本手法は、形式 $ u''(x) + [E - P(x)]u(x) = -\frac{nk}{2}u(x)^{\frac{4-n}{n}} $ の時間に依存しない非線形シュレーディンガー型方程式を導入する。ここで $ u(x) $ は複素数値関数、$ E $ は定数エネルギー、$ P(x) $ はポテンシャル関数である。
• スケール因子 $ a(t) = u(\sigma(t))^{-2/n} $ およびスカラー場 $ \phi(t) = \psi(\sigma(t)) $ を含む変換を通じて、FLRW方程式の解 $ (a(t), \phi(t), V(\phi)) $ と非線形シュレーディンガー方程式の解 $ u(x) $ の間の全単射対応を確立する。
• 時間発展と空間的ダイナミクスを結ぶために、補助関数 $ \sigma(t) $ および $ \psi(x) $ を用い、$ \dot{\sigma}(t) = u(\sigma(t)) $ および $ (\psi'(x))^2 = \frac{4}{nK^2}P(x) $ を満たすように定義する。
• ポテンシャル $ V(\phi) $ は逆関数 $ \psi^{-1} $ を用いて再構成され、$ V = \left[ \frac{12}{K^2n^2}(u')^2 - \frac{2u^2P}{K^2n} + \frac{12u^2E}{K^2n^2} + \frac{3ku^{4/n}}{K^2} \right] \circ \psi^{-1} $ を得る。
• 本手法では、事前に $ a(t) $ を指定し、その後に非線形シュレーディンガー方程式および関連する変換関数の解を用いて $ \phi(t) $ と $ V(\phi) $ を導出可能である。
• 本手法は、適切な $ u(x) $、$ n $、$ P(x) $ を選ぶことで、エリス＝マドセン解やストリングに由来するモデルといった既知の解を再現することで妥当性を検証している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 均一かつ等方的な宇宙においてスカラー場と完全流体を伴うアインシュタイン場方程式は、非線形シュレーディンガー型方程式に再定式化可能か？
• RQ2 FLRW方程式の解と非線形シュレーディンガー方程式の解との間の明確な数学的対応関係は何か？
• RQ3 この非線形シュレーディンガー定式化を用いて、正確な宇宙論的解を体系的に導出する方法は何か？
• RQ4 この定式化は、エリス＝マドセン型モデルやストリングに由来する宇宙論といった既知の解を再現可能か？
• RQ5 完全流体の状態方程式に関連するパrameter $ n $ は、非線形シュレーディンガー方程式の構造において果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、FLRWスカラー場宇宙論の解と非線形シュレーディンガー型方程式の解との間の直接的かつ可逆的な対応関係を確立し、スペクトル法を用いた正確な解の生成を可能にする。
• $ n=2 $ または $ n=4 $、あるいは $ k=0 $ の場合、非線形シュレーディンガー方程式は線形形式に簡略化され、これらの特殊な場合において解の構築が容易になる。
• 本手法は $ k=1 $、$ n=4 $ の場合にエリス＝マドセン解を正確に再現する。$ a(t) = A\cosh(\omega t) $、$ \phi(t) = \psi_0 \pm \frac{B}{\omega}\arctan(\sinh(\omega t)) $、$ V(\phi) = \frac{3\omega^2}{K^2} + B^2\cos^2\left(\frac{\omega}{B}(\phi - \psi_0)\right) $ を得る。
• ストリングに由来するモデル $ a_2(t) = a_0 + t^2/(2a_0) $ に対して、本手法は $ \phi_2(t) = \phi_0 + \frac{1}{K}\log\left(1 + \frac{t^2}{2a_0^2}\right) $ および $ V_2(\phi) = \frac{1}{K^2a_0^2}\left[5e^{-K(\phi - \phi_0)} - 2e^{-2K(\phi - \phi_0)}\right] $ を得る。
• 非ゼロの物質密度へも本定式化を拡張可能である。$ a_1(t) = (a_0^2 + t^2)^{1/2} $ の場合、$ \phi_1(t) = \phi_0' + \frac{1}{K}\log\left(1 + \frac{t^2}{a_0^2}\right) $ および $ V_1(\phi) = \frac{1}{K^2a_0^2}\left[4e^{-K(\phi - \phi_0')} - e^{-2K(\phi - \phi_0')}\right] $ を得る。
• $ n=1 $、$ k=-8\lambda^2 $ の場合、$ u(x) = -\frac{3}{4}\sqrt{3}\tanh\left(\sqrt{\frac{27}{8}}\lambda x\right) $ を得る。これにより、$ a(t) = \frac{16}{27}\left[1 + e^{\frac{27\lambda}{4\sqrt{2}}(t-c)}\right] $、$ \phi_{\pm}(t) = \pm\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{\sqrt{A}}{\lambda K}\arcsinh\left[e^{-\frac{27\lambda}{8\sqrt{2}}(t-c)}\right] $、および $ V(x) = \frac{3^7\lambda^2}{2^5K^2} + \frac{135A}{8K^2}\tanh^2\left[\frac{3}{4}\sqrt{\frac{3}{2}}\frac{\lambda K}{\sqrt{A}}(x - \phi_0)\right] $ を得る。