[論文レビュー] A non-smooth trust-region method for B-differentiable functions with application to optimization problems constrained by variational inequalities

Constantin Christof, Juan Carlos De los Reyes+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2017

Optimization and Variational Analysis参考文献 16被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、特に第二種の変分不等式で制約される問題を解くために、B-微分可能関数を含む最適化問題に対する非滑らか信赖領域法を提案する。減少コスト関数のBouligand部分微分を特徴づけることで、収束が保証される計算可能な信頼領域モデルを構築し、適切な仮定の下でC-停留点に収束することを示す。

ABSTRACT

We propose a non-smooth trust-region method for solving optimization problems with B-differentiable functions, with application to problems constrained by variational inequalities of the second kind. Under suitable assumptions on the model functions, convergence of the general algorithm to a C-stationary point is verified. For variational inequality constrained problems, we are able to properly characterize the Bouligand subdifferential of the reduced cost function and, based on that, we propose a computable trust-region model which fulfills the convergence hypotheses of the general algorithm. The article concludes with the experimental study of the main properties of the proposed method based on two different numerical instances.

研究の動機と目的

• B-微分可能関数を対象とする最適化問題に特化した信頼領域法の開発を目的とする。
• 非滑らか性と非凸性のため困難である第二種の変分不等式制約付き最適化問題に対処することを目的とする。
• このような制約付き問題における減少コスト関数のBouligand部分微分を特徴づけること。
• 一般アルゴリズムの収束条件を満たす計算可能な信頼領域モデルを設計すること。
• 代表的な2つのテスト例における数値実験を通じて、手法の性能を検証すること。

提案手法

• 本手法は、非滑らかかつB-微分可能な関数に適応した信頼領域フレームワークを採用する。
• 減少コスト関数のBouligand部分微分を用いてモデル関数を構築する。
• 信頼領域部分問題は、十分な減少を保証するとともに曲率条件を満たすモデルによって解かれる。
• モデル関数に関する標準的な仮定の下で、C-停留点への収束が確立される。
• Bouligand部分微分の明示的表現を導出することで、変分不等式制約に特化した手法を構築する。
• 部分微分の特徴づけに基づき、実装可能な計算可能な信頼領域モデルを提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非滑らか信頼領域法は、B-微分可能最適化問題に効果的に適用可能か？
• RQ2 変分不等式制約付き問題における減少コスト関数のBouligand部分微分は、どのように特徴づけられるか？
• RQ3 この文脈で信頼領域法がC-停留点に収束するための条件は何か？
• RQ4 収束仮説を満たす計算可能な信頼領域モデルを構築できるか？
• RQ5 代表的なテスト問題において、この手法の数値的性能はいかがであるか？

主な発見

• 適切なモデル関数に関する仮定の下で、提案手法の信頼領域法はC-停留点に収束する。
• 変分不等式制約付き問題における減少コスト関数のBouligand部分微分が明示的に特徴づけられた。
• 部分微分の特徴づけに基づき、実装可能な計算可能な信頼領域モデルが導出された。
• 数値実験により、非滑らか性と収束特性が2つのテスト例で適切に扱えることが示された。
• 非凸性と非滑らか性が生じる変分不等式制約の課題を、効果的に克服できることが明らかになった。