[論文レビュー] A non-stable C*-algebra with an elementary essential composition series

Saeed Ghasemi, Piotr Koszmider|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2017

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ひとこと要約

この論文は、分離可能で安定なイデアルの非可算な帰納極限として構成される非安定な AF $C^*$-代数を提示する。各商は $\mathcal{K}(\ell_2)$ に同型であり、非分離な状況下での安定性の永続性の失敗を示している。主な貢献は、長さ $\omega_1$ の初等的核となる組成系列を持つ GCR で散乱的 $C^*$-代数を構成し、すべての初期イデアルが安定であるにもかかわらず、その代数が $\mathcal{K}(\ell_2)$ とのテンソル積と同型でないことを示したことである。

ABSTRACT

A C*-algebra $A$ is said to be stable if it is isomorphic to $A \otimes K(\ell_2)$. Hjelmborg and Rørdam have shown that countable inductive limits of separable stable C*-algebras are stable. We show that this is no longer true in the nonseparable context even for the most natural case of an uncountable inductive limit of an increasing chain of separable stable and AF ideals: we construct a GCR, AF (in fact, scattered) subalgebra $A$ of $B(\ell_2)$, which is the inductive limit of length $ω_1$ of its separable stable ideals $I_α$ ($α

研究の動機と目的

• 分離可能な安定 $C^*$-代数の非可算な帰納極限において、AF および GCR の文脈でも安定性が保存されないことを示すこと。
• 長さ $\omega_1$ の初等的核となる組成系列を持ち、すべての連続する商が $\mathcal{K}(\ell_2)$ に同型であるが、その代数が安定でない $C^*$-代数を構成すること。
• このような代数における安定イデアルの族に最大元が存在しないことを示し、安定性に対する構造的障害を示すこと。
• Hjelmborg と Rørdam の安定性結果の非分離な場合への拡張が成り立たない反例を確立すること。

提案手法

• 長さ $\omega_1$ の超限帰納極限として、$\mathcal{B}(\ell_2)$ の $C^*$-部分代数 $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}(\ell_2)$ を構成し、分離可能で安定な AF-イデアル $\mathcal{I}_\alpha$ の族とする。
• 各商 $\mathcal{I}_{\alpha+1}/\mathcal{I}_\alpha \cong \mathcal{K}(\ell_2)$ となるように保証し、初等的核となる組成系列を形成する。
• $B(\ell_2)$ の作用素の代表列を、ほぼ行列単位の Luzin ブロックワイズ系を支配するように選ぶ。
• コンパクト摂動とほぼ行列単位を含むノルム推定と射影高さの分析を用いた背理法を適用する。
• ほぼ行列単位系の Luzin 性質を用いて、$R_\alpha Q_\beta$ のノルムが 0 であることに反するノルム下界を導出する。
• 安定な場合における同型 $\mathcal{A} \cong \mathcal{A} \otimes \mathcal{K}(\ell_2)$ を利用し、直交する台を持つ射影の列と制御された高さを持つ列を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離可能な $C^*$-代数の安定性は、非可算な帰納極限においても保存されるか？
• RQ2 長さ $\omega_1$ の初等的核となる組成系列と、$\mathcal{K}(\ell_2)$ に同型な商を持つ $C^*$-代数が、安定でないことはあり得るか？
• RQ3 すべての真の両側イデアルが安定で、長さ $\omega_1$ の鎖をなす非安定な $C^*$-代数は存在するか？
• RQ4 二つの同型でない散乱的 $C^*$-代数が、$\omega_1$ まで同型な組成系列を持ち、最終段階でのみ異なることはあり得るか？

主な発見

• 構成された $C^*$-代数 $\mathcal{A}$ は、GCR であり、AF かつ散乱的であるが、分離可能な安定イデアルの帰納極限であるにもかかわらず、安定でない。
• $\mathcal{A}$ は長さ $\omega_1$ の初等的核となる組成系列 $(\mathcal{I}_\alpha)_{\alpha \leq \omega_1}$ を持ち、すべての $\alpha < \omega_1$ に対して $\mathcal{I}_{\alpha+1}/\mathcal{I}_\alpha \cong \mathcal{K}(\ell_2)$ である。
• $\mathcal{A}$ のすべての真の両側イデアルは、ある $\alpha < \omega_1$ に対して $\mathcal{I}_\alpha$ の形をしているため、安定イデアルの族に最大元が存在しない。
• $\mathcal{A}$ は $\mathcal{A} \otimes \mathcal{K}(\ell_2)$ と同型でないため、安定でないことが証明された。
• 安定な $C^*$-代数 $\mathcal{A}' = \mathcal{A} \otimes \mathcal{K}(\ell_2)$ は、$\mathcal{I}_\alpha$ に同型なイデアルを持つ組成系列を持つため、非同型な代数が $\omega_1$ まで同型な組成系列を持つことが示された。
• 証明における背理はノルム推定に起因する：Luzin 性質により $\|(A_\alpha + F)(B_\beta + G)\| > 3\varepsilon$ が導かれるが、これは $\|R_\alpha Q_\beta\| = 0$ に反する。