[論文レビュー] A non-strictly hyperbolic system for the Einstein equations with arbitrary lapse and shift

Andrew M. Abrahams, Arlen Anderson+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 1996

advanced mathematical theories被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、任意の lapse 関数とシフト関数に対して常に双曲的である非厳密双曲型の1階系をアインシュタイン方程式に対して定式化し、Gevrey空間 𝛼=2 において因果的で適切に定義された初期値問題を保証する。lapse 関数に対する波動方程式を導入することで、系は準対角双曲型となり、先行する対称双曲型定式化と関連づけられ、数値相対論への強固な応用が可能になる。

ABSTRACT

We obtain a system for the spatial metric and extrinsic curvature of a spacelike slice that is hyperbolic non-strict in the sense of Leray and Ohya and is equivalent to the Einstein equations. Its characteristics are the light cone and the normal to the slice for any choice of lapse and shift functions, and it admits a well-posed causal Cauchy problem in a Gevrey class of index $α=2$. The system becomes quasidiagonal hyperbolic if we posit a certain wave equation for the lapse function, and we can then relate the results to our previously obtained first order symmetric hyperbolic system for general relativity.

研究の動機と目的

• lapse 関数とシフト関数の任意の選択に対して有効である双曲型定式化をアインシュタイン方程式に開発すること。
• その系が、Gevrey空間の指数 𝛼=2 において因果的で適切に定義された初期値問題を有することを保証すること。
• 非厳密双曲型系と既に知られている対称双曲型定式化との関係を確立すること。
• ゲージ条件の柔軟性を許容することで、数値相対論に適したフレームワークを提供すること。
• lapse とシフトの任意の選択に対して、系の特徴は光円錐と空間的スライスの法線であることが一貫して保たれること。

提案手法

• Leray と Ohya の意味での双曲的であるが、厳密双曲的ではない1階系として、空間計量と外的曲率のための系を導出すること。
• その系の特徴の錐が、lapse とシフトに依存せず、光円錐と空間的スライスの法線となるように構築すること。
• Gevrey空間の指数 𝛼=2 を用いて、初期値問題が適切に定義される関数空間を定義すること。
• lapse 関数に対して波動方程式を導入し、系を準対角双曲型形式に変換すること。
• 導入された lapse 波動方程式を通じて、得られた系を先行する対称双曲型定式化と関連づけること。
• 与えられた条件下で、系がアインシュタイン方程式と同等であることを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 lapse 関数とシフト関数の任意の選択に対して有効であるアインシュタイン方程式の双曲型定式化を構築できるか？
• RQ2 そのような系は、Gevrey空間の指数 𝛼=2 において適切に定義された初期値問題を有するか？
• RQ3 非厳密双曲型系は、数値相対論で用いられる対称双曲型定式化とどのように関連づけられるか？
• RQ4 lapse 関数は、非厳密双曲型から準対角双曲型構造への移行において果たす役割は何か？
• RQ5 lapse とシフトのすべてのゲージ選択に対して、系の特徴面は一貫して光円錐と空間的スライスの法線であるか？

主な発見

• 系は Leray と Ohya の意味で双曲的であり、lapse とシフトの選択にかかわらずそのままである。
• Gevrey空間の指数 𝛼=2 において、系の初期値問題は適切に定義されており、局所的な解の存在と一意性が保証される。
• lapse とシフトの選択にかかわらず、系の特徴は光円錐と空間的スライスの法線である。
• lapse に波動方程式を課すことで、系は準対角双曲型となり、対称双曲型定式化との比較が可能になる。
• この定式化はアインシュタイン方程式と同等であり、数値的時間発展に一貫したフレームワークを提供する。
• 本研究の結果は、非厳密双曲型系と一般相対論における確立された対称双曲型手法との間の橋渡しを確立する。