[論文レビュー] A noncommutative De Finetti theorem for boolean independence

Weihua Liu|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2014

Random Matrices and Applications参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非可換多項式上の量子モノイド $B_s(n)$ 及びそのコアクションを導入することにより、ブール独立性における非可換 de Finetti 定理を確立する。特定のコアクションにおける分布の不変性が、系列がテイル代数に関して同一分布かつブール独立であることと同値であることを示し、ブール独立性における de Finetti の古典的交換可能性結果の非可換版を提供する。

ABSTRACT

We introduce a family of quantum semigroups and their natural coactions on noncommutative polynomials. We present three invariance conditions, associated with these coactions, for the joint distribution of sequences of selfadjoint noncommutative random variables. For one of the invariance conditions, we prove that the joint distribution of an infinite sequence of noncommutative random variables satisfies it is equivalent to the fact that the sequence of the random variables are identically distributed and boolean independent with respect to the conditional expectation onto its tail algebra. This is a boolean analogue of de Finetti theorem on exchangeable sequences. In the end of the paper, we will discuss the other two invariance conditions which lead to some trivial results.

研究の動機と目的

• 状態の忠実性を仮定しない非可換確率空間への de Finetti の定理の拡張を目的とする。
• 量子モノイドのコアクションによる不変条件を用いて、条件付きブール独立な系列を特徴付けること。
• ブール独立性を用いた非可換確率空間における分布的対称性の枠組みを構築すること。
• 非ユニタルかつ非忠実な非可換確率空間におけるブール積の役割を明確化すること。

提案手法

• 分布的対称性をモデル化するため、量子モノイド $B_s(n)$ 及びその部分モノイド $Π_s(n)$ を導入する。
• 非可換多項式代数 $\mathbb{C}\langle X_1, \dots, X_n \rangle$ 上に、線形的、代数的、および $L_n$ の三つのコアクションを定義する。
• 非可換確率変数の同時分布に対する不変条件を、コアクション $L_n$ を用いて定義する。
• 1次元空間における $B_s(n)$ の自明な表現 $\pi$ を用い、$\pi(u_{i,j}) = 0$（$i \neq j$）により不変条件を評価する。
• 不変条件を単項式に適用してモーメントの恒等式を導出し、混合モーメントが次数にのみ依存することを示す。
• コアクション $L_n$ における不変性が、すべての混合モーメント $\phi(x_{i_1} \cdots x_{i_k}) = 0$（$k \geq 1$）の消失を示すことの証明を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 忠実性を仮定しない非可換確率空間におけるブール独立性を特徴付ける分布的対称性条件は何か？
• RQ2 量子モノイドのコアクションを用いて、非可換同時分布に対する不変条件をどのように定義できるか？
• RQ3 古典的交換可能性結果に類似した、ブール独立性における非可換 de Finetti 定理は存在するか？
• RQ4 ブール積は、非忠実な非可換確率空間を構成する際に果たす役割は何か？
• RQ5 代替的なコアクションは、自明なモーメント収縮以外の非自明な特徴付けをもたらすか？

主な発見

• 自己随伴な非可換確率変数の無限系列の同時分布がコアクション $L_n$ に対して不変であることは、すべての次数 $k \geq 1$ の混合モーメントが消えることと同値である。
• $\mathcal{B}_s(n)$ の線形コアクションにおける不変性は、同じ次数のすべての混合モーメントが等しくなることを意味し、結果としてすべての $i \neq j$ に対して $x_i = x_j$ が成り立つ。
• $\mathbb{C}\langle X_1, \dots, X_n \rangle$ 上のコアクション $L_n$ は、$L_n(X_i) = \sum_{k=1}^n X_k \otimes u_{k,i}$ で定義され、$(L_n \otimes \text{id})L_n = (\text{id} \otimes \Delta)L_n$ を満たすコアクションの恒等式を満たす。
• 自明な表現 $\pi$ を用い、$\pi(u_{i,j}) = 0$ とすると、不変条件は $\phi(x_{i_1} \cdots x_{i_k}) = 0$（すべての $k \geq 1$）に簡略化され、モーメント収縮が証明される。
• $\mathcal{B}_s(n)$ の代数的コアクションは、線形コアクションと同様に同じモーメント収縮を引き起こし、それにより自明性が生じる。
• 主な結果として、$L_n$ コアクションにおける不変性が、系列がテイル代数に関して同一分布かつブール独立であることと同値であることが示され、ブール独立性における非可換 de Finetti 定理が確立される。