[論文レビュー] A Noncommutative Transport Metric and Symmetric Quantum Markov Semigroups as Gradient Flows of the Entropy

Melchior Wirth|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 71被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、CiprianiとSauvageotが開発した量子ディリクレ型形式に由来する一階微分計算を用いて、密度行列の空間に非可換輸送距離 $\chi$ を導入する。これは、古典的 $L^2$-ウォッサーシュタイン距離および離散的輸送距離を一般化する。対称的量子マコフ半群が、$\mathcal{W}$ に関するフォン・ノイマンエントロピーの勾配流であることが確立され、バクリ＝エメリー型勾配推定が成り立つ場合には、有限エントロピー密度行列の空間が測地的であり、エントロピーが測地線に沿って半凸であることが示される。

ABSTRACT

We study quantum Dirichlet forms and the associated symmetric quantum Markov semigroups on noncommutative $L^2$ spaces. It is known from the work of Cipriani and Sauvageot that these semigroups induce a first order differential calculus, and we use this differential calculus to define a noncommutative transport metric on the set of density matrices. This construction generalizes both the $L^2$-Wasserstein distance on a large class of metric spaces as well as the discrete transport distance introduced by Maas, Mielke, and Chow-Huang-Li-Zhou. Assuming a Bakry-Émery-type gradient estimate, we show that the quantum Markov semigroup can be viewed as a metric gradient flow of the entropy with respect to this transport metric. Under the same assumption we also establish that the set of density matrices with finite entropy endowed with the noncommutative transport metric is a geodesic space and that the entropy is semi-convex along these geodesics.

研究の動機と目的

• 有限次元古典的・離散的設定から無限次元量子系への熱拡散の勾配流特徴付けを拡張すること。
• CiprianiとSauvageotの手法に由来する一階微分計算を用いて、密度行列の空間に非可換輸送距離 $\mathcal{W}$ を定義すること。
• 対称的量子マコフ半群が、$\mathcal{W}$ に関するフォン・ノイマンエントロピーの勾配流であることを確立し、有限次元および古典的設定からの結果を一般化すること。
• バクリ＝エメリー型勾配推定が成り立つ場合に、有限エントロピーを持つ密度行列の空間が測地的空間であり、エントロピーが測地線に沿って半凸であることを証明すること。
• 本フレームワークを用いて、非可換幾何学におけるリッチ曲率の下界を定義する基盤を築くこと。

提案手法

• CiprianiとSauvageotが開発した、量子ディリクレ型形式に由来する非可換 $L^2$-空間上の一次微分計算を用いる。
• 絶対連続曲線 $\rho_t$ を用いて $\rho$ と $\sigma$ を結ぶ経路の $L^2$-ノルム $\|D\rho_t\|$ の下界として、非可換輸送距離 $\mathcal{W}(\rho,\sigma)$ を定義する。
• 非可換設定におけるBenamou–Brenierの公式を適用し、フィッシャー情報量と対数的平均作用素を含む動的定式化を用いて $\mathcal{W}$ を特徴付ける。
• 勾配流の性質と測地的性質を保証するために、半群にバクリ＝エメリー型勾配推定 $\mathrm{GE}(K,\infty)$ を課す。
• 滑らかでない一般の有限エントロピーを持つ密度行列へと結果を拡張するために、滑らか化技術と弱収束の議論を用いる。
• 非退化性とエントロピーの下界集合の正則性を示すことにより、$\mathcal{W}$ が非退化であり、エントロピーが測地線に沿って $K$-凸性を満たすことを証明し、測地的完備性とエントロピーの半凸性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元および古典的設定から、無限次元量子系への熱拡散の勾配流としてのエントロピーの流れの特徴付けを拡張することは可能か？
• RQ2 量子ディリクレ型形式および一次微分計算を用いて、密度行列の空間に非可換輸送距離 $\mathcal{W}$ をどのように定義できるか？
• RQ3 対称的量子マコフ半群が、$\mathcal{W}$ に関するフォン・ノイマンエントロピーの勾配流と一致する条件は何か？
• RQ4 $\mathcal{W}$ に関して有限エントロピーを持つ密度行列の空間が測地的空間であるか？ また、エントロピーは測地線に沿って半凸か？
• RQ5 このフレームワークは、古典的および離散的結果を一般化して、非可換幾何学におけるリッチ曲率の下界を定義可能にするか？

主な発見

• 非可換輸送距離 $\mathcal{W}$ は、リーマン多様体上の $L^2$-ウォッサーシュタイン距離およびグラフ上の離散的輸送距離を両方一般化する。
• $\mathrm{GE}(K,\infty)$ 勾配推定が成り立つ場合、量子マコフ半群 $(P_t)$ は、エントロピーの $\mathrm{EVI}_K$ 勾配流である。これは、時間発展の変分不等式を満たすことを意味する。
• $\mathcal{W}$ が非退化で、エントロピーの下界集合が正則である場合、空間 $(D(\mathrm{Ent}), \mathcal{W})$ は測地的空間である。
• 同じ条件下でフォン・ノイマンエントロピーは強く測地的 $K$-凸性を示し、$\mathrm{Ent}(\gamma_t) \leq (1-t)\mathrm{Ent}(\gamma_0) + t\mathrm{Ent}(\gamma_1) - \frac{K}{2}t(1-t)\mathcal{W}(\gamma_0,\gamma_1)^2$ が成り立つ。
• すべての有限エントロピーを持つ $\rho$ に対して、不等式 $\mathcal{W}(\rho,1)^2 \leq \frac{2}{K}\mathrm{Ent}(\rho)$ が成り立ち、曲率下界 $K$ を介して距離とエントロピーを結びつける。
• 本フレームワークは、ユークリッド熱拡散（局所的）およびグラフラプラシアン（非局所的）の両方の勾配流を、一つの非可換幾何的構造で統一的に扱える。