[論文レビュー] A noncommutative Weierstrass preparation theorem and applications to Iwasawa theory

Otmar Venjakob|ArXiv.org|Apr 12, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、非可換局所環上の非可換歪冪級数環に対して、非可換Weierstrassの準備定理を確立し、非アーベル $p$-進Lie群上のIwasawaモジュールの構造論を可能にする。主な貢献は、特定のGaloisモジュール—特に非アーベル $5cmathbb{Z}_p^2$-拡張上の $p$-Hilbert類体群—が完全忠実であることを示したことである。すなわち、そのグローバルな零化因子が0であることを意味し、これは特徴的イデアルを持たず、零化因子による $L$-関数への関連付けが不可能であることを示唆する。

ABSTRACT

In this paper and a forthcoming joint one with Y. Hachimori we study Iwasawa modules over an infinite Galois extension K of a number field k whose Galois group G=G(K/k) is isomorphic to the semidirect product of two copies of the p-adic numbers. After first analyzing some general algebraic properties of the corresponding Iwasawa algebra, we apply these results to the Galois group of the p-Hilbert class field over K. As a main tool we prove a Weierstrass preparation theorem for certain skew power series rings. One striking result in our work is the discovery of the abundance of faithful torsion modules, i.e. non-trivial torsion modules whose global annihilator ideal is zero. Finally we show that the completed group algebra with coefficients in the finite field of p elements is a unique factorization domain in the sense of Chatters.

研究の動機と目的

• 非可換局所環上の非可換歪冪級数環に対して、非可換Weierstrassの準備定理の非可換類似を構築すること。
• $H \cong \Gamma \cong \mathbb{Z}_p$ である非アーベルなプロ-$p$群 $G \cong H \rtimes \Gamma$ に対して、Iwasawa代数 $\Lambda(G)$ 上のIwasawaモジュールを研究すること。
• 非アーベル $5cmathbb{Z}_p^2$-拡張上の $p$-Hilbert類体のGalois群 $X_{nr}$ の構造を分析すること。
• $X_{nr}$ が $5clambda(G)$-モジュールとして完全忠実であることを確立すること。これは $5cmathrm{Ann}(X_{nr}) = 0$ を意味し、$L$-関数へのグローバル零化因子による関連付けが不可能であることを示唆する。
• 完成化群代数 $5cF_p[[G]]$ がChattersの意味で一意的因数分解環（UFD）であることを証明すること。

提案手法

• $H \cong \mathbb{Z}_p$ である $R = \Lambda(H)$ 上の歪冪級数環 $R[[Y; \sigma, \delta]]$ として、Iwasawa代数 $\Lambda(G)$ を表現すること。
• このような歪冪級数環に対して、一般化されたWeierstrassの準備定理を証明し、除法補題とWeierstrass多項式への因子分解を確立すること。
• 準備定理を用いて、$5clambda(H)$-上でも有限生成であるような、有限生成 $5clambda(G)$-モジュールの構造を分析し、特にその擬似零および忠実性の性質に注目すること。
• コホモロジー的技法、特に函手 $5cmathrm{E}^i$ を用いて、$X_{nr}$ 及びその部分群 $H_n$ による余不変量の構造を研究すること。
• Nakayamaの補題と可換Iwasawa代数の構造論を用いて、$X_{nr}$-余不変量のランク増加を分析すること。
• $p$-類群の直和極限と、逆極限のIwasawa双対の間の双対性を、擬似零余核を持つ擬似同型を介して確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換局所環上の非可換歪冪級数環に対して、非可換Weierstrassの準備定理を定式化できるか。その代数的帰結は何か？
• RQ2 グローバル零化因子が0である忠実なtorsion $5clambda(G)$-モジュール—すなわち、完全忠実モジュール—は、特にIwasawa理論の文脈において自然に生じるか？
• RQ3 非アーベル $5cmathbb{Z}_p^2$-拡張上の $p$-Hilbert類体のGalois群 $X_{nr}$ は、$5clambda(G)$-モジュールとして完全忠実か？
• RQ4 非アーベル $p$-進Lie拡張において、$p$-類群の直和極限と逆極限の間の双対性は保持されるか。この双対性における余核の性質は何か？
• RQ5 $G \cong \mathbb{Z}_p^2 \rtimes \mathbb{Z}_p$ のとき、完成化群代数 $5cF_p[[G]]$ はChattersの意味で一意的因数分解環（UFD）か？

主な発見

• $k_{\infty} = \mathbb{Q}(\mu_p)(p^{p^{-\infty}})$ 上の $p$-Hilbert類体のGalois群 $X_{nr}$ は、$5clambda(G)$-モジュールとして完全忠実であり、$5cmathrm{Ann}(X_{nr}) = 0$ であるため、非ゼロのグローバル零化因子を持たない。
• $p$-類群の直和極限のPontryagin双対 $5cmathrm{Cl}(k_{\infty})(p)^\vee$ は、擬似零余核を持つ擬似同型で $5cmathrm{E}^1(X_{nr})$ に同型であり、非可換双対性を確立する。
• $X_{nr}$ が擬似零であれば、$5cmathrm{Cl}(k_{\infty})(p) = 0$ であり、これは $p$ が正則素数である場合に限り成立する。
• $X_{nr}$ の $\mu$-不変量が消えるのは、$X_{nr}$ が $5clambda(H)$-上有限生成であるときであり、これはすべての $n$ に対して $\mu(X(k_{n,\infty})) = 0$ を意味する。
• $X_{nr}$-余不変量 $X_{nr, H_n}$ のランクは、ある定数 $c$ を用いて、漸近的に $\mathrm{rk}_{\Lambda(H)}(X_{nr}) \cdot p^n + c$ に比例して増加する。このとき $\lambda$-不変量はランクとモジュールの構造によって決定される。
• 単位群モジュール $\mathcal{E}(k_{\infty})$ の torsion部分は、主定理および双対性の結果として、擬似零である。