[論文レビュー] A Nonconforming Finite Element Method for Fourth Order Curl Equations in R^3

Bin Zheng, Qiya Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2010

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、磁気流体力学（MHD）モデルに由来する三次元における4階curl方程式を解く非適合有限要素法を提示する。この手法は、最小限の自由度を持つ新規な要素を用い、curlの接線成分の連続性を強制することで、最適な収束速度を達成し、実装に適した明示的な基底関数を提供する。

ABSTRACT

In this paper we present a nonconforming finite element method for solving fourth order curl equations in three dimensions arising from magnetohydrodynamics models. We show that the method has an optimal error estimate for a model problem involving both curl^2 and curl^4 operators. The element has a very small number of degrees of freedom and it imposes the inter-element continuity along the tangential direction which is appropriate for the approximation of magnetic fields. We also provide explicit formulae of basis functions for this element.

研究の動機と目的

• 3次元磁気流体力学（MHD）問題における4階curl作用素に対して安定的かつ効率的な有限要素法を開発すること。
• 標準的な適合要素では自由度が高いため、MHDモデルにおける$(\nabla\times)^4$作用素の離散化が困難であるという課題に対処すること。
• 要素間でcurlの接線成分の連続性を保証する非適合有限要素を構築し、磁場の近似に適したものとすること。
• 新しい要素の実装を可能にするために、明示的な基底関数を提供すること。
• 標準的なSobolev正則性仮定の下で、この手法の最適な誤差推定を確立すること。

提案手法

• 手法は、2次多項式に基づく分片的多項式に加え、curl関連の自由度を追加した非適合有限要素空間を採用する。
• 有限要素空間は、curlの要素間接線成分の連続性を強制し、磁場の物理的性質と整合性を持つ。
• 体積積分と面積分を用いた双線形形式$ a_h(\cdot, \cdot) $が構築され、$ \alpha $および$ \beta $による安定化項を含む。
• 非適合ガレルキン法による解析が行われ、部分積分とトレース不等式を用いて一貫性誤差および近似誤差の推定が得られる。
• 第二のストラング補題に依拠して、curlおよびその勾配の$ H^1 $-類ノルムにおける最適収束が確立される。
• 要素の明示的基底関数が導出され、有限要素コードへの直接実装を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小自由度で3次元における4階curl作用素を効率的に離散化できる非適合有限要素法を構築できるか？
• RQ2 要素境界でcurlの接線成分の連続性を強制することは、4階curl問題において最適収束をもたらすか？
• RQ3 MHDモデルにおける$(\nabla\times)^4$作用素を、非適合手法を用いて安定的に近似できるか？
• RQ4 標準的な正則性仮定の下で、このような手法が達成可能な最適誤差推定は何か？
• RQ5 新しい要素に対して明示的な基底関数を導出でき、実装を支援できるか？

主な発見

• 提案された非適合有限要素法はエネルギーノルムにおいて最適収束速度を達成し、$ \mathbf{u} \in (H^4(\Omega))^3 $に対して誤差が$ \lesssim h\|\mathbf{u}\|_{4,\Omega} $で抑えられる。
• 解、そのcurl、およびcurlの勾配について、最適な誤差推定が得られ、高次精度が保証される。
• 1つの正四面体要素あたりの自由度は30であり、適合法が要請する220自由度と比較して、計算コストを著しく低減する。
• 要素界面におけるcurlの接線成分の連続性を強制することで、磁場の物理的構造が保持される。
• 基底関数の明示的公式が導出され、有限要素ソフトウェアへの直接実装が可能になる。
• 一貫性誤差は$ \lesssim h(\|\nabla\times\Delta(\nabla\times\mathbf{u})\| + \|\nabla(\nabla\times\mathbf{u})\|_{1} + \|\nabla\times\mathbf{u}\| + \|\nabla\times\nabla\times\mathbf{u}\|) $で抑えられ、最適近似性質が確認される。