[論文レビュー] A Nonconventional Ergodic Theorem for quantum "diagonal measures"

Francesco Fidaleo|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Furstenbergの古典的結果を非不変・非正規状態へと拡張することで、量子動的系における非伝統的エルゴード定理を確立する。具体的には、GNS表現における積状態または凸結合から生じる量子「対角測度」を対象とし、形式 $ onefrac{1}{N} sum_{n=0}^{N-1}U_{ omega}^{nk_1}XU_{ omega}^{n(k_2-k_1)}$ のケゼロ平均の強作用素位相収束を示す。これにより、エルゴード的およびコンパクトな量子系において、三重相関の極限を計算可能とする。収束条件には状態の台と可換子構造に関する制約が課される。

ABSTRACT

We extend the Nonconventional Ergodic Theorem for generic measures by Furstenberg, to several situations of interest arising from quantum dynamical systems. We deal with the diagonal state canonically associated to the product state (i.e. quantum "diagonal measures"), or to convex combinations of diagonal measures for non ergodic cases. For the sake of completeness, we treat also the Nonconventional Ergodic Theorem for compact dynamical systems, that is when the unitary generating the dynamics in the GNS representation is almost periodic. The Nonconventional Ergodic Theorem allows in a natural way to determine the limit of the three-point correlations, naturally relevant for the knowledge of the ergodic properties of a dynamical system.

研究の動機と目的

• 非不変・非正規状態を有する量子動的系へ、Furstenbergの非伝統的エルゴード定理を一般化すること。
• GNS表現におけるユニタリ作用素を含むケゼロ平均の収束を、量子対角測度に関して分析すること。
• エルゴード的および非エルゴード的条件下での量子系における三重相関の極限を特定すること。
• ケゼロ平均の極限が強作用素位相で存在するための条件を確立すること。
• ユニタリ作用素がほとんど周期的であるコンパクトな動的系において、スペクトル分解を用いて収束を保証すること。

提案手法

• C*-動的系をヒルベルト空間上に、循環的ベクトル $\Omega$ を用いて表現するため、ゲルファンド＝ナイマーカン＝セガール（GNS）構成を用いる。
• 非可換設定における積状態に対応する、$\pi_\omega(\mathfrak{A})'' \otimes_{\text{max}} \pi_\omega(\mathfrak{A})'$ 上のベクトル状態として、量子「対角測度」を定義する。
• 代数 $\mathfrak{M}$ 上での自己同型 $\gamma = \text{Ad}_{U_\omega^{k_1}} \otimes \text{Ad}_{U_\omega^{k_2}}$ の作用を分析する。
• ユニタリ作用素 $U_\omega$ がほとんど周期的（コンパクト系）である場合、ヴァン・ネウマンのエルゴード定理をスペクトル射影に適用する。
• 収束を保証するため、$s(\omega) \in Z(\mathfrak{A}^{**})$ および $\pi_\omega(\mathfrak{A})' \cap \{U_\omega^{k_2-k_1}\}' \subset Z(\pi_\omega(\mathfrak{A})'')$ などの条件を課す。
• 中心的台を有する状態をエルゴード成分に分解するため、可分な $C^*$-系の還元理論を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非不変・非正規状態を有する量子系において、ケゼロ平均 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}U_{\omega}^{nk_1}XU_{\omega}^{n(k_2-k_1)}$ が強作用素位相で収束する条件は何か？
• RQ2 非不変状態を有する量子動的系において、三重相関 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\omega(A_0\alpha^{nk_1}(A_1)\alpha^{nk_2}(A_2))$ の極限は、どのように特徴づけられるか？
• RQ3 非エルゴード的状況において、収束に $\pi_\omega(\mathfrak{A})' \cap \{U_\omega^{k_2-k_1}\}' \subset Z(\pi_\omega(\mathfrak{A})'')$ の条件が必要であるか？
• RQ4 ユニタリ作用素 $U_\omega$ がほとんど周期的であるコンパクトな量子動的系において、ケゼロ平均の収束はどのように振る舞うか？
• RQ5 可換子 $\pi_\omega(\mathfrak{A})' \cap \{U_\omega\}'$ が非可換であるが、中心に含まれない場合にも、非伝統的エルゴード定理を拡張できるか？

主な発見

• $X$ が $\pi_\omega(\mathfrak{A})''$ と $\pi_\omega(\mathfrak{A})'$ のノルム閉包に属するとき、条件 $s(\omega) \in Z(\mathfrak{A}^{**})$ および $\pi_\omega(\mathfrak{A})' \cap \{U_\omega^{k_2-k_1}\}' \subset Z(\pi_\omega(\mathfrak{A})'')$ の下で、ケゼロ平均 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}U_{\omega}^{nk_1}XU_{\omega}^{n(k_2-k_1)}$ は強作用素位相で収束する。
• コンパクトな $C^*$-動的系では、極限は $S(A) = \sum_{\{v,w \mid v^{k_1}w^{k_2-k_1}=1\}} E^{U_\omega}_v A E^{U_\omega}_w$ で与えられ、これは強く収束し、$\|S(A)\| \leq \|A\|$ を満たす。
• 三重相関の極限は $\left\langle S(\pi(A_1))\pi(A_2)\Omega, \pi(A_0^*)\Omega \right\rangle$ として明示的に計算可能であり、コンパクト系ではスペクトル射影を用いて表現できる。
• 条件 $s(\omega) \in Z(\mathfrak{A}^{**})$ は必要不可欠であり、反例により、これを欠如させると三重相関が収束しなくなることが示される。
• 非エルゴード的状況において、条件 $\pi_\omega(\mathfrak{A})' \cap \{U_\omega^{k_2-k_1}\}' \subset Z(\pi_\omega(\mathfrak{A})'')$ は極めて重要であり、その不成立は収束を妨げる可能性がある。
• 還元理論を用いることで、中心的台を持つ状態に対して、可分な $C^*$-動的系の非エルゴード的状況でも本結果が成り立つ。