[論文レビュー] A Nonconvex Approach for Exact and Efficient Multichannel Sparse Blind Deconvolution

Qing Qu, Xiao Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2019

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、球面上の非凸最適化アプローチを提案し、符号付きシフトのあいまいさを除いて正確かつ効率的にマルチチャンネルスパース盲目的デコンボリューションを解く。ランダム初期化を用いたバニラリーマンゲージェントディセント（Riemannian gradient descent, RGD）を用いて、核関数とスパース入力を同時に回復する。やや弱い統計的仮定のもとで、先行手法と比較して顕著に改善されたサンプル複雑性と計算効率を達成し、理論的回復が保証される。

ABSTRACT

We study the multi-channel sparse blind deconvolution (MCS-BD) problem, whose task is to simultaneously recover a kernel $\mathbf a$ and multiple sparse inputs $\{\mathbf x_i\}_{i=1}^p$ from their circulant convolution $\mathbf y_i = \mathbf a \circledast \mathbf x_i $ ($i=1,\cdots,p$). We formulate the task as a nonconvex optimization problem over the sphere. Under mild statistical assumptions of the data, we prove that the vanilla Riemannian gradient descent (RGD) method, with random initializations, provably recovers both the kernel $\mathbf a$ and the signals $\{\mathbf x_i\}_{i=1}^p$ up to a signed shift ambiguity. In comparison with state-of-the-art results, our work shows significant improvements in terms of sample complexity and computational efficiency. Our theoretical results are corroborated by numerical experiments, which demonstrate superior performance of the proposed approach over the previous methods on both synthetic and real datasets.

研究の動機と目的

• 複数の信号が未知のカーネルと畳み込みされている、マルチチャンネルスパース盲目的デコンボリューション（MCS-BD）問題に対処すること。
• 核関数とスパース入力を正確に回復できる、理論的に収束が保証され、計算的に効率的な手法を開発すること。
• 従来の凸的および非凸的アプローチと比較して、サンプル複雑性を低減し、計算効率を向上させること。
• やや弱いi.i.d.スパース性仮定の下で、球面上のバニラリーマンゲージェントディセントに対する理論的保証を確立すること。

提案手法

• 核関数とスパース信号の回復を目的とした、単位球面上の非凸最適化問題にMCS-BDを定式化する。
• 球面上でランダム初期化を用いたバニラリーマンゲージェントディセント（RGD）を用いて、非凸問題を解く。
• 最適化の安定性を高めるために、平均パワー スペクトルの逆平方根を用いた前処理ステップを導入する。
• RGDの後にフェーズリフト風のLP丸め手順を適用し、解を精緻化して正確な回復を達成する。
• 画像処理応用を想定し、2次元畳み込みとDFTに基づく前処理を用いて、2次元問題への適用を適応する。
• 最適化にℓ¹、Huber、ℓ⁴などの損失関数を用い、球面上に制約されたリーマンサブ勾配更新を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球面上のバニラリーマンゲージェントディセントは、やや弱いi.i.d.スパース性仮定のもとで、マルチチャンネル盲目的デコンボリューションにおいて核関数とスパース信号を理論的に回復できるか？
• RQ2 やや弱いi.i.d.スパース性仮定のもとで、非凸最適化を用いた正確な回復に必要なサンプル複雑性はどの程度か？
• RQ3 本手法は、凸的および先行非凸的手法と比較して、サンプル複雑性と時間複雑性の両面で優れているか？
• RQ4 本手法は、画像のぼかし除去やスーパーレゾリューション顕微鏡術などの2次元画像処理問題において正確な回復を達成できるか？
• RQ5 提案された非凸定式化のもとで、ランダム初期化がグローバル解への収束を十分に保証できるか？

主な発見

• やや弱いi.i.d.スパース性仮定のもとで、ランダム初期化を用いたバニラリーマンゲージェントディセントは、符号付きシフトのあいまいさを除いて、核関数とスパース入力を理論的に回復できる。
• サンプル複雑性は $ p \tilde{\rightarrow} \tilde{\theta}\big\{n, \frac{\kappa^8}{\mu^2}\big\} n^4 $ となり、先行の凸的および非凸的手法と比較して顕著に改善された。
• 計算時間複雑性は $ \tilde{\mathcal{O}}(pn^5 + pn\log(1/\varepsilon)) $ であり、先行研究の $ \tilde{\mathcal{O}}(pn^{13}/\varepsilon^8) $ よりも顕著に低い。
• 合成データおよび実データを用いた数値実験により、最先端手法と比較して回復精度と収束速度の両面で優れた性能を示した。
• 適切な前処理と多様体最適化を施した後、本手法は画像のぼかし除去やスーパーレゾリューション顕微鏡術などの2次元応用においても有効である。
• 理論的保証は、核関数がスパイク的でない場合にも成立し、先行の凸的アプローチが課していた制限的な仮定を緩和した。