[論文レビュー] A Nonlinear Finite Element Heterogeneous Multiscale Method for the Homogenization of Hyperelastic Solids and a Novel Staggered Two-Scale Solution Algorithm

Bernhard Eidel, Andreas Fischer+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2019

Composite Material Mechanics参考文献 64被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、幾何的非線形性を有するハイパーリンクス固体力学を対象として、非線形有限要素異種スケール法（FE-HMM）を提案する。新規のステップワイズ二重スケールアルゴリズムを導入し、ネストされたニュートン反復を直接的なマイクロとマクロの反復の交互実行に置き換える。この新アルゴリズムは、3次元問題において最大2.0倍の高速化を達成しながらも、収束性を保持しており、線形FE-HMMにおける事前誤差推定値が非線形領域でも有効であることが確認され、線形ケースと同等の収束レートを示す。

ABSTRACT

In this paper we address three aspects of nonlinear computational homogenization of elastic solids by two-scale finite element methods. First, we present a nonlinear formulation of the finite element heterogeneous multiscale method FE-HMM in a Lagrangean formulation that covers geometrical nonlinearity and, more general, hyperelasticity. Second, a-priori estimates of FE-HMM, which exist so far only for the fully linear elastic case in solid mechanics, are assessed in the regime of nonlinear elasticity. The measured convergence rates agree fairly well with those of the fully linear regime. Third, we revise the standard solution algorithm of FE$^2$ which is a staggered scheme in terms of a nested loop embedding the full solution of the micro problem into one macro solution iteration step. We demonstrate that suchlike staggered scheme, which is typically realized by a nested two-level Newton algorithm, can safely and efficiently be replaced by direct alternations between micro and macro iterations. The novel algorithmic structure is exemplarily detailed for the proposed nonlinear FE-HMM, its efficiency is substantiated by a considerable speedup in numerical tests.

研究の動機と目的

• 幾何的非線形性をラグランジュアンフレームワーク内で扱える非線形FE-HMMの定式化を構築すること。
• 線形FE-HMMにおける既存の事前誤差推定値が、非線形ハイパーリンクス力学の文脈で有効であるかを検証すること。
• 標準的なネストされたニュートン反復に基づくステップワイズ解法アルゴリズムを再考し、二重スケール有限要素法の計算効率を向上させること。
• 各マクロステップでマイクロ問題を完全に収束させるのではなく、直接的なマイクロ・マクロ反復の交互実行が、完全収束を必要としないが、収束性と精度を損なわずに、より効率的で頑健であることを示すこと。

提案手法

• 幾何的非線形性と材料非線形性を扱える総ラグランジュアン設定下で、非線形FE-HMMを定式化する。
• 代表的体積要素（RVE）を用いて、マイクロスケールの有限要素解法により有効材料特性を計算する。
• 新規のステップワイズ解法アルゴリズムを導入し、標準的なネストされた二段階ニュートンスキームをマイクロとマクロの反復の直接的交互実行に置き換える。
• 各マクロ反復でマイクロ問題を完全に収束させないことで、計算コストを削減しながらも収束性を維持する。
• 線形FE-HMMにおける事前誤差推定値を非線形設定で数値的に検証し、ハイパーリンクス力学下での収束特性を評価する。
• 数値ベンチマークとして、ネオ・フック材料および線形弾性材料を用いた2次元および3次元問題を、メッシュの細分化を変化させながら実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形FE-HMMで導出された事前誤差推定値を、非線形ハイパーリンクス力学の領域へ信頼性を持って拡張できるか？
• RQ2 非線形領域におけるFE-HMMの収束特性は、線形ケースと同程度の収束レートを示すか？
• RQ3 二重スケールFEMにおける標準的なネストされたニュートンアルゴリズムを、完全収束を要しない直接的交互スキームに置き換えても、収束性や精度に影響を及げないか？
• RQ4 非線形均質化において、ネストされたニュートン反復を交互に更新するマイクロ・マクロ更新に置き換えることで、どの程度の性能向上が得られるか？
• RQ5 2次元および3次元問題において、大きな荷重ステップやメッシュの細分化の変化に対しても、提案されたアルゴリズムは頑健であるか？

主な発見

• 非線形ハイパーリンクス領域における収束レートは、線形ケースとほぼ同一であり、非線形領域でも事前誤差推定値の頑健性が裏付けられた。
• 提案されたステップワイズアルゴリズムは、3次元シミュレーションで1.7～2.0のスピードアップ要因を達成しており、ネオ・フック材料の問題ではマイクロメッシュが細かくなるほど高い向上が観察された。
• 異なるメッシュ組み合わせにおいて平均して1.8を超えるスピードアップ要因が得られ、大きな荷重ステップでも収束の頑健性に劣化は認められなかった。
• 2次元で最小1.05、3次元で最小1.7のスピードアップが観察され、遅延のリスクを伴わず一貫した性能向上が確認された。
• 新アルゴリズムは実装が簡単であり、各マクロ反復でマイクロ解を完全に収束させる必要がなく、計算コストを顕著に削減できる。
• 本手法はFE2や他の二重スケール手法へも応用可能であり、カップリング問題や非弾性問題への広範な応用が期待できる。