[論文レビュー] A nonlinear singular perturbation problem

А. Г. Рамм|ArXiv.org|May 3, 2004

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ヒルバート空間における非線形特異摂動問題を研究しており、制限方程式の解における非線形作用素のフレシェ微分がフレドホルム的でも逆写像可能でもない場合を扱う。特定のリゾルベント成長条件 $ olinebreakigracevert(A + \varepsilon)^{-1}\bigracevert \leq c\varepsilon^{-1}$ を仮定することで、$\varepsilon \to 0$ のとき $\|u_\varepsilon - y\| \to 0$ となる解の存在と収束を証明し、$\|u_\varepsilon - y\| = O(\varepsilon)$ を得、小さな $O(\varepsilon)$-近傍内での一意性を確立する。この結果は、ニュートン型カーネルを有する非線形積分方程式に応用される。

ABSTRACT

Let F(u_\ve)+\ve(u_\ve-w)=0 \eqno{(1)} where $F$ is a nonlinear operator in a Hilbert space $H$, $w\in H$ is an element, and $\ve>0$ is a parameter. Assume that $F(y)=0$, and $F'(y)$ is not a boundedly invertible operator. Sufficient conditions are given for the existence of the solution to \eqref{e1.1} and for the convergence $\lim_{\ve o 0}\|u_\ve-y\|=0$. An example of applications is considered. In this example $F$ is a nonlinear integral operator.

研究の動機と目的

• Fréchet微分 $F'(y)$ が可逆でもフレドホルム的でもない場合に、$\varepsilon \to 0$ のとき $F(u_\varepsilon) + \varepsilon(u_\varepsilon - w) = 0$ の解 $u_\varepsilon$ の収束を分析すること。
• 標準的な可逆性よりも弱い条件、具体的には $\|(A + \varepsilon)^{-1}\| \leq c\varepsilon^{-1}$（$A = F'(y)$）の下で、$\|u_\varepsilon - y\| \to 0$ の存在と収束を確立すること。
• 線形化 $F'(y)$ がコンパクト作用素であるか、または特異的リゾルベント成長 $\|(A + \varepsilon)^{-1}\| \leq c\varepsilon^{-1}$ を有する場合に、古典的特異摂動理論を拡張すること。
• 非線形積分方程式 $F(u) = \int_D \frac{u^3(s)}{4\pi|x-s|} ds$ におけるニュートンポテンシャルの応用性を示すこと。

提案手法

• 方程式 $F(u_\varepsilon) + \varepsilon(u_\varepsilon - w) = 0$ を変数変換 $z_\varepsilon = u_\varepsilon - y$ により固定点問題に変形し、$\phi(z_\varepsilon) + \varepsilon z_\varepsilon + \varepsilon(y - w) = 0$ を得る。ここで $\phi(z) = F(y + z)$ である。
• テイラー展開 $\phi(z) = Az + K(z)$ を用い、$\|K(z)\| \leq \frac{M_2\|z\|^2}{2}$ とし、方程式を $z_\varepsilon = -A_\varepsilon^{-1}K(z_\varepsilon) - \varepsilon A_\varepsilon^{-1}(y - w)$ に書き換える。ここで $A_\varepsilon = A + \varepsilon I$ である。
• リゾルベントバウンド $\|(A + \varepsilon)^{-1}\| \leq c\varepsilon^{-1}$ と $y - w = Av$（$\|v\|$ が十分小さい）の仮定の下、半径 $R = O(\varepsilon)$ の球 $B(0, R)$ においてシャウダーの固定点定理を適用する。
• 固定点写像が小さな球内で収縮写像であることを示し、一意性を証明する。そのために $\|K(z) - K(v)\| \leq \left(\frac{M_3 R^2}{6} + M_2 R\right)\|z - v\|$ の推定を用い、$\varepsilon$ が十分小さいとき収縮係数が 1 より小さくなるようにする。
• 具体的な非線形積分方程式 $\int_D \frac{u^3(s)}{4\pi|x-s|} ds + \varepsilon(u_\varepsilon - w) = f$（$f = 0$）に対して、抽象的結果を適用する。リゾルベント条件の検証と、$n=3$ のときの $H^1(D)$ 上でのソボレフ空間推定を用いる。
• $H^1(D)$ 上での存在と収束を確立する。作用素 $T(u) = -\varepsilon^{-1}F(u) + \varepsilon h$ が半径 $R = \varepsilon^{2/3}$ の球へ写像し、$\varepsilon$ が十分小さいとき収縮写像であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fréchet微分 $F'(y)$ が可逆でもフレドホルム的でもない場合に、摂動方程式 $F(u_\varepsilon) + \varepsilon(u_\varepsilon - w) = 0$ の解 $u_\varepsilon$ が $\varepsilon \to 0$ のとき $y$ に収束する条件は何か？
• RQ2 線形化 $F'(y)$ がコンパクト作用素であるか、または特異的リゾルベント成長 $\|(A + \varepsilon)^{-1}\| \leq c\varepsilon^{-1}$ を有する場合、古典的特異摂動理論を拡張できるか？
• RQ3 $F'(y)$ の標準的可逆性仮定が成り立たない状況下で、$w$ にどのような条件を課すと $u_\varepsilon$ の存在と収束が保証されるか？
• RQ4 抽象的収束結果をニュートン核を有する具体的な非線形積分方程式にどのように適用できるか？
• RQ5 この状況下での収束速度 $\|u_\varepsilon - y\|$ は何か？また、$O(\varepsilon)$-近傍内で一意性を確立できるか？

主な発見

• リゾルベントバウンド $\|(A + \varepsilon)^{-1}\| \leq c\varepsilon^{-1}$（$A = F'(y)$）の下で、$F$ が $y$ の近傍で3回連続的にフレシェ微分可能でコンパクト作用素である限り、すべての十分に小さい $\varepsilon > 0$ に対して摂動方程式の解 $u_\varepsilon$ が存在する。
• $\varepsilon \to 0$ のとき $\|u_\varepsilon - y\| \to 0$ となる収束が成立し、収束速度は $\|u_\varepsilon - y\| = O(\varepsilon)$ であり、これは単なる収束よりも強い。
• $y - w = Av$ かつ $\|v\| < \frac{1}{2M_2 c(1 + c)}$ のとき、$y$ を中心とする半径 $R = O(\varepsilon)$ の球内で解の一意性が保証される。ここで $c$ はリゾルベントバウンドの定数である。
• 具体的な積分方程式 $\int_D \frac{u^3(s)}{4\pi|x-s|} ds + \varepsilon(u_\varepsilon - w) = 0$（$w = \varepsilon h$ かつ $\|h\|_{H^1(D)} = 1$）に対して、すべての $\varepsilon \in (0, \varepsilon_0)$（$\varepsilon_0$ が十分小さい）で $H^1(D)$ 上に一意解 $u_\varepsilon$ が存在する。
• 解は $\|u_\varepsilon\|_{H^1(D)} = O(\varepsilon^{2/3})$ を満たし、$\varepsilon \to 0$ のとき $\|u_\varepsilon\|_{H^1(D)} \to 0$ となる。これは自明解 $y = 0$ への収束を確認する。
• 固定点写像原理を $H^1(D)$ 上に成功裏に適用した。半径を $R = \varepsilon^{2/3}$ に選び、収縮係数は $O(\varepsilon^{1/3})$ であり、$\varepsilon$ が十分小さいとき 1 より小さい。