[論文レビュー] A nonlinear time compactness result and applications to discretization of degenerate parabolic-elliptic PDEs

Boris Andreïanov, Clément Cancès+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 53被引用数 37

ひとこと要約

本稿は、補間コンpaktnネス技法に基づく、非線形・退化する放物型・放物型PDEの完全離散スキームの収束証明を可能にする、新しい離散時間コンパクトネス結果を導入する。2点フラックス有限体積スキームとBDF2時間離散化を用いた場合、可変時間ステップと多段階時間積分法を用いても、$L^r((0,T);L^2(\theta))$における強い収束を確立する。

ABSTRACT

We propose a discrete functional analysis result suitable for proving compactness in the framework of fully discrete approximations of strongly degenerate parabolic problems. It is based on the original exploitation of a result related to compensated compactness rather than on a classical estimate on the space and time translates in the spirit of Simon (Ann. Mat. Pura Appl. 1987). Our approach allows to handle various numerical discretizations both in the space variables and in the time variable. In particular, we can cope quite easily with variable time steps and with multistep time differentiation methods like, e.g., the backward differentiation formula of order 2 (BDF2) scheme. We illustrate our approach by proving the convergence of a two-point flux Finite Volume in space and BDF2 in time approximation of the porous medium equation.

研究の動機と目的

• 強度に退化する放物型・放物型PDEの完全離散スキームのための、頑健な離散時間コンパクトネスフレームワークを構築すること。
• 古典的な時間コンパクトネス推定（例：Alt-Luckhaus）が非線形・退化状態で有効でない問題を克服すること。
• 可変時間ステップと多段階時間離散化（例：BDF2）を用いるスキームの収束解析を可能にすること。
• 問題に応じてコンパクトネスの議論を再導出する必要のない、一般化され、即座に利用可能なツールを提供すること。
• ポーラス媒体方程式に対して、2点フラックス有限体積スキームとBDF2時間離散化の収束を証明すること。

提案手法

• 補間コンパクトネスに基づく離散関数解析的結果を提案し、古典的な空間時間平行移動推定を避ける。
• DubinskiiおよびKruzhkovのインスピレーションを受ける非線形時間コンパクトネス原理を、離散設定に適合させる。
• 質量行列の逆行列を用いて構築された離散双対テスト関数 $\widehat{\boldsymbol{\varphi}}_{m}^{n}$ を用いて、時間微分を制御する。
• 時間項、拡散項、勾配寄与項を表す項を含む、離散弱形式を採用する。
• 離散$L^p$空間におけるFréchet-Kolmogorovコンパクトネス基準を適用し、強い収束を導出する。
• スキームの構造とテスト関数の正則性から得られる、離散勾配および時間平行移動の一様有界性に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間平行移動に関する問題特有の推定を避ける一般的な離散時間コンパクトネス結果を定式化することは可能か？
• RQ2 補間コンパクトネス技法を、可変時間ステップおよび多段階時間積分法を用いる離散スキームにどのように適合できるか？
• RQ3 非線形・退化する放物型・放物型PDEに対して、2点フラックス有限体積スキームとBDF2時間離散化の収束を証明することは可能か？
• RQ4 離散解の $L^r((0,T);L^2(\theta))$ における強い収束が、連続解に一致するための条件は何か？
• RQ5 提案されたコンパクトネスフレームワークは、ポーラス媒体方程式のような強い退化を示す問題に適用可能か？

主な発見

• 提案された離散時間コンパクトネス結果により、すべての $r \in [1,\infty)$ に対して、$L^r((0,T);L^2(\theta))$ における離散解の強い収束が保証される。
• 収束結果は、可変時間ステップおよびBDF2のような多段階時間離散化を用いるスキームに対しても成立する。
• 離散解列 $\pi_{m}^{n}{\boldsymbol{u}}_{m}^{n}$ は、ポーラス媒体方程式の唯一の弱解 $u$ に強く収束する。
• 極限 $u$ は連続問題の弱形式を満たしており、スキームの整合性が確認される。
• 証明は、時間微分、拡散、勾配補正の3つの離散項の収束に依存しており、後者は極限で消える。
• $L^2$ や $L^1$ の古典的時間平行移動推定に依存せず、退化問題に対してより柔軟な代替手段を提供する。