[論文レビュー] A Nonlinear Variational Approach to Motion-Corrected Reconstruction of Density Images

Martin Burger, Jan Modersitzki+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2015

Medical Imaging Techniques and Applications参考文献 40被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、動的PETにおける動的で間接的な測定値から密度画像の動き補正再構成を非線形変分フレームワークを用いて行う。特に、初期密度の超弾性的・質量保存的変形としての動きをモデル化する。この手法は、データ適合性、全 variation 正則化、超弾性正則化を弱い微分同相写像に基づく動きモデルと組み合わせ、最小値の存在を証明し、従来の手法と比較して画像品質の向上とノイズ抑制を示している。

ABSTRACT

The aim of this paper is to establish a nonlinear variational approach to the reconstruction of moving density images from indirect dynamic measurements. Our approach is to model the dynamics as a hyperelastic deformation of an initial density including preservation of mass. Consequently we derive a variational regularization model for the reconstruction, which - besides the usual data fidelity and total variation regularization of the images - also includes a motion constraint and a hyperelastic regularization energy. Under suitable assumptions we prove the existence of a minimizer, which relies on the concept of weak diffeomorphisms for the motion. Moreover, we study natural parameter asymptotics and regularizing properties of the variational model. Finally, we develop a computational solution method based on alternating minimization and splitting techniques, with a particular focus on dynamic PET. The potential improvements of our approach compared to conventional reconstruction techniques are investigated in appropriately designed examples.

研究の動機と目的

• 動的PETにおける低カウントやアンダーサンプリングによる測定値から、動きのある密度画像を再構成する課題に対処すること。
• 低カウントやアンダーサンプリングのための信号対ノイズ比が低い、時間ステップごとの別個再構成の限界を克服すること。
• 画像再構成と物理的に整合性のある動き推定を同時に実行する統一された変分モデルを開発すること。
• 超弾性正則化エネルギーと弱い微分同相写像フレームワークを用いて、質量保存と滑らかで可逆な変形を保証すること。
• 最小値の存在と漸近的解析による正則化特性を理論的に確立すること。

提案手法

• 時間的に変化する密度を初期密度の超弾性的変形としてモデル化し、変換式 $\rho^i(x) = \rho^0(y^i(x)) \cdot \det(\nabla y^i(x))$ におけるヤコビアン行列式によって質量保存を強制する。
• 測定されたプロジェクションへのデータ適合性、画像のスパarsityを図る全 variation 正則化、動きの滑らかさを保証する超弾性正則化を組み合わせた変分汎関数を構築する。
• 弱い微分同相写像フレームワークを用いて動きを制約し、ほぼ everywhere (a.e.) 近似的微分可能性、正のヤコビアン行列式、および面積公式と Lusin の条件によるグローバル可逆性を保証する。
• 変形勾配、余因子、および行列式に基づくノルム $\|y\|_{\operatorname{dif}^{p,q}}$ を用いて、物理的妥当性と正則性を強制する。
• 効率的な数値解法のため、汎関数を画像と動きのサブ問題に分割する交互最小化アルゴリズムを開発する。
• ポisson分布ノイズを伴う動的PETで手法を検証し、負の対数尤度データ適合性と動き補正付きの反復的精錬を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 画像再構成と動き推定を結合する非線形変分モデルは、動的PETにおける従来の別個再構成と比較して、より高品質な密度画像を提供できるか？
• RQ2 動的密度画像の変分フレームワークにおいて、質量保存と物理的に妥当な変形を数学的にどのように強制できるか？
• RQ3 データ適合性、画像正則化、超弾性的動きエネルギーを組み合わせた変分モデルの理論的性質（最小値の存在、正則化行動など）は何か？
• RQ4 弱い微分同相写像を用いることで、大規模な変形を許容しつつも、変形場の可逆性と滑らかさをどのように保証できるか？
• RQ5 画像再構成と動き推定の同時問題を解くために用いられる交互最小化スキームの収束性と安定性は何か？

主な発見

• 適切な仮定の下で、提案された変分モデルは最小値を有することが弱い微分同相写像理論とグローバル可逆性条件を用いて証明された。
• 最小値の存在は、a.e. 近似的微分可能性、正のヤコビアン行列式、グローバル可逆性を保証する弱い微分同相写像の使用に依存する。
• モデルは正則化特性を示し、正則化パラメータを調整することで、漸近的挙動として物理的に妥当な解に収束することが示された。
• 交互最小化と分割技術に基づく計算手法は一貫して収束し、再構成と動き推定を交互に繰り返す反復スキームで生じるアーチファクトを回避した。
• 数値例では、特に低カウントの動的PET状況において、従来の再構成手法と比較して信号対ノイズ比と画像品質が顕著に向上した。
• データ適合性項を対応する負の対数尤度に置き換えることで、ポisson以外のノイズモデル（加法的ノイズや背景ノイズなど）に対してもフレームワークを拡張可能である。