[論文レビュー] A Nonparametric Framework for Online Stochastic Matching with Correlated Arrivals

Ali Aouad, Will Ma|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2022

Optimization and Search Problems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、需要到着の逐次的独立性という標準的仮定を緩和し、任意で相関があり、分散が大きい需要分布を許容する非パラメトリックなオンライン確率的マッチングの枠組みを提案する。著者らは、インディペンデント型需要（Indep）と、合計需要が与えられたもとでの相関型分布（Correl）の2つのモデルを提案し、期待値のみに基づくフラUID LP緩和が、任意に悪いベンチマークであることが示され、代わりに、敵対的およびランダム順序到着の下で定数倍の競合比を達成する tightened LP緩和を構築する。

ABSTRACT

The design of online algorithms for matching markets and revenue management settings is usually bound by the assumption that the demand process is formed by a fixed-length sequence of queries with unknown types, each drawn independently. This notion of serial independence implies that the demand of each type, i.e., the number of queries of a given type, has low variance and is approximately Poisson-distributed. This paper proposes a nonparametric framework for modeling arrival sequences in online stochastic matching that departs from the serial independent assumption. We propose two models, INDEP and CORREL, that capture different forms of serial correlations by combining a nonparametric distribution for the demand with standard assumptions on the arrival patterns -- adversarial or random order. The INDEP model can capture arbitrary serial correlations within each customer type but assumes cross-sectional independence across types, whereas the CORREL model captures common shocks across customer types. We demonstrate that fluid relaxations, which rely solely on demand expectations, have arbitrarily bad performance guarantees. In contrast, we develop new algorithms that achieve optimal (constant-factor) performance guarantees in each model. Our mathematical analysis includes tighter linear programming (LP) relaxations that leverage distribution knowledge, and a new lossless randomized LP rounding scheme for INDEP. We test our new LP relaxations and rounding scheme in simulations on real and synthetic data, and find that they consistently outperform well-established matching algorithms, especially on real data sequences that exhibit greater demand variance.

研究の動機と目的

• 従来のオンライン確率的マッチングモデルが逐次的独立性と低分散需要を仮定しているという制限を是正し、分散が大きい実世界のデータに適用可能であるようにすること。
• ポアソン分布や i.i.d. 到着といったパラメトリック仮定に依存せず、任意の需要分布とタイプ間の相関を捉えるデータ駆動型の非パラメトリック枠組みを構築すること。
• 高分散・相関のある需要の下で、先行研究で一般的に用いられるフラUID LP緩和が、任意に悪いベンチマークであることが示され、それを是正する必要があること。
• 新しいモデルにおいて、敵対的およびランダム順序到着の下で、証明可能な定数倍の性能保証を持つ競合的オンラインマッチングアルゴリズムを設計すること。
• 実証的需要分布と標準的なオンライン到着モデルを組み合わせることで、より豊かで現実的である確率的マッチング定式化を可能にする一般化されたモデリング枠組みを提供すること。

提案手法

• インディペンデント型需要（Indep）：各タイプの需要が任意の分布から独立に抽出される。コリレーション型（Correl）：合計需要が最初に抽出され、その後、合計需要を条件としてタイプが i.i.d. に割り当てられる。
• 期待値だけでなく、需要の完全な分布を組み込むことで、分散と相関をよりよく捉えるために、 tightened 線形計画（LP）緩和を導入する。
• 予言者不等式の技術を適用して、リソース固有のしきい値ポリシーの性能を評価し、各リソースの貢献が最適しきい値ポリシーの価値の半分以上であることを示す。
• tightened LP の最適解に基づくラウンドリング戦略を用いて、クエリをリソースに割り当て、実行可能性と競合的性能を保証する。
• 確率的優位性と期待値の議論を用いて、オンラインポリシーの期待報酬の下界を、最適しきい値ポリシーの報酬と関連づける。
• 総報酬をリソースごとに分析する分解アプローチを採用し、LP の構造的性質を活用して制約がほぼタイトであることを示し、性能解析をきめ細かく行う。

Figure 1: Illustration of TypeRound in stage $t=3$ for an example with $L=5$ , $\bar{p}_{\ell}=\frac{1}{2^{\ell-1}}$ for all $\ell\in[L]$ , and ${\bf x}_{j}=(\frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{7}{8},\frac{1}{4},0)$ . The $y$ -axis visualizes the probabilistic space, including the disjointedness of events

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 需要分布がポアソン分布でなく、分散が大きい場合、標準的な逐次的独立性仮定を満たさない状況においても、オンラインマッチングポリシーが定数倍の性能保証を維持できるか？
• RQ2 相関的または重尾型の需要分布の下で、単に期待需要に基づくフラUID LP緩和は、どの程度ベンチマークとして失敗するか？
• RQ3 任意のタイプ到着や相関のある到着の下で、需要の完全な分布的情報を組み込むために、LP緩和をどのようにしてtightenできるか？
• RQ4 需要の分散が平均で有界でない状況において、敵対的またはランダム順序到着の下で、定数倍の競合的アルゴリズムを設計できるか？
• RQ5 非パラメトリック需要モデリングは、データ駆動型運用環境におけるオンラインマッチングポリシーのロバスト性と正確性を向上させる役割を果たすか？

主な発見

• フラUID LP緩和（期待需要のみを用いる）は、分散が大きくまたは相関のある需要の下では、任意に悪いベンチマークとなるため、性能の代理指標としての使用が不適切である。
• 提案された Indep および Correl モデルは、それぞれ任意の周辺分布または合計分布を許容し、ポアソン分布や i.i.d. 到着といった標準モデルを一般化する。
• 両モデルにおいて、著者らは敵対的到着では 1/2-競合比、ランダム順序到着では 1/2-競合比を達成するオンラインマッチングアルゴリズムを設計した。
• 性能保証は、各リソースの貢献が最適しきい値ポリシーの報酬の半分以上であることを示すことで得られ、予言者不等式の結果を活用している。
• 需要の完全な分布を組み込む tightened LP緩和は、定数倍の性能を達成するために不可欠であり、高分散状況では標準的なフラUID緩和を上回る性能を示す。
• この枠組みにより、実データからの需要分布の経験的推定が可能となり、それを標準的な到着順モデルと組み合わせてアルゴリズム設計に応用できる。

Figure 2: Each of the 1600 dots represents a (SKU, location)-combination $j$ . The $x$ -coordinate is the empirical mean weekly demand for that SKU from that location, and the $y$ -coordinate is the natural logarithm of the ratio of empirical variance to empirical mean. The property $\mathrm{Var}(D_