[論文レビュー] A nonstandard uniform functional limit law for the increments of the multivariate empirical distribution function

Davit Varron|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2012

Statistical Methods and Inference参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、一般の密度条件の下で、多次元経験分布関数の増分について、非標準的な一様関数極限定理を確立する。これは、DeheuvelsとMasonの単変量結果を非一様多次元ケースに拡張したものである。Erdős-Rényi型帯域幅条件の下で、正規化された増分は、Chernoff型レート関数によって特徴づけられる関数の集合にほとんど確実に収束し、核密度推定の非一様的強い一致性を示唆する。

ABSTRACT

Let $(Z_i)_{i\geq 1}$ be an independent, identically distributed sequence of random variables on $\RRR^d$. Under mild conditions on the density of $Z_1$, we provide a nonstandard uniform functional limit law for the following processes on $[0,1)^d$: $$Δ_n(z,h_n,\cdot):=s\mapsto \frac{\sliin 1_{[0,s_1] imes... imes[0,s_d]}\poo\frac{Z_i-z}{h_n^{1/d}}\pff}{c\log n},\;s\in [0,1)^d,$$ along a sequence $(h_n)\suite$ fulfilling $h_n\downarrow 0,\;nh_n\uparrow,\;nh_n/\log c ar c>0$. Here $z$ ranges through a compact set of $\RRR^d$. This result is an extension of a theorem of Deheuvels and Mason (1992) to the multivariate, non uniform case.\lb

研究の動機と目的

• DeheuvelsとMasonの非標準的関数極限定理を、一様単変量ケースから、多次元・非一様設定へ一般化すること。
• 正規化された経験過程増分が、Chernoff型レート関数によって定義される関数族にほとんど確実に収束することを確立すること。
• Erdős-Rényi帯域幅条件の下で、多次元ケースにおいてParzen-Rosenblatt核密度推定が、コンact集合上では一様的強く一貫していないことを示すこと。
• コンact集合内の各点の局所近傍における経験過程増分の関数的極限定理を提供し、収束速度が局所密度に依存することを示すこと。

提案手法

• 点 $ z $ の周囲の収縮する近傍内にあるデータ点の割合を数える正規化過程 $ \Delta_n(z, h_n, \cdot) $ を導入し、$ c \log n $ でスケーリングする。
• すべての連続関数 $ g \in B([0,1)^d) $ に対して、レート関数 $ I(g) = \int_{[0,1)^d} h(g'(s)) \, ds $ を定義するためのChernoff関数 $ h(x) = x \log x - x + 1 $（$ x > 0 $）を用いる。
• 極限的挙動を特徴づける集合 $ \Gamma_{c f(z)} = \{ g \in B([0,1)^d) : I(g) \leq 1/(c f(z)) \} $ を定義する。
• 大偏差技術とBorel-Cantelliの補題を用いて、小さな近傍における過程の振動を制御する。
• コンパクト集合 $ H $ の各点 $ z $ の周囲での過程の挙動を局所化するため、二進立方体による被覆論法を用いる。
• 密度の連続性と帯域幅の減少を用いて、点 $ z $ における経験過程と近傍の中心 $ z_{i,n_k} $ における基準過程との間のカップリングを採用し、誤差を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の密度条件の下で、単変量一様ケースにおける経験過程増分の関数的極限定理は、多次元・非一様ケースへ拡張可能か？
• RQ2 母分布が連続的かつ正の密度を持つ場合、正規化された経験過程増分 $ \Delta_n(z, h_n, \cdot) $ のほとんど確実な極限的挙動は何か？
• RQ3 Erdős-Rényi帯域幅条件の下で、多次元設定においてParzen-Rosenblatt核密度推定が非一貫的であることを示せるか？
• RQ4 局所密度 $ f(z) $ は、経験過程増分がほとんど確実に収束する関数の集合にどのように影響を与えるか？
• RQ5 経験過程増分が極限集合 $ \Gamma_{c f(z)} $ に収束する速度は何か？ また、コンパクト集合上で一様にどのように制御されるか？

主な発見

• 任意の内部を有するコンパクト集合 $ H \subset \mathbb{R}^d $ と $ z \in H $ に対して、正規化過程 $ \Delta_n(z, h_n, \cdot) $ は、$ z \in H $ に対して一様に、$ \Gamma_{c f(z)} $ 内の関数にほとんど確実に収束する。
• $ z \in H $ における $ \Delta_n(z, h_n, \cdot) $ と集合 $ \Gamma_{c f(z)} $ の間の距離の下界の上界が、$ n \to \infty $ のときほとんど確実にゼロに収束する。
• この結果は、Erdős-Rényi帯域幅条件の下で、コンパクト集合上でのParzen-Rosenblatt核密度推定が一様的強く一貫していないことを示唆する。
• 極限的挙動は、エントロピーに類似した項によって期待される局所挙動からの逸脱をペナルティとして課すChernoffレート関数 $ I(g) $ によって特徴づけられる。
• 収束は、極限集合が局所密度 $ f(z) $ に依存し、正規化に $ \sqrt{n} $ の代わりに $ \log n $ を用いるという点で非標準的であり、繰り返し対数法則に類似した関数的法則を反映している。
• 証明は、局所経験過程と近傍の中心における基準過程との間の繊細なカップリングに依存し、誤差の境界は大偏差とBorel-Cantelliの補題によって制御される。