[論文レビュー] A nonvariational finite element method for fully nonlinear elliptic problems

Omar Lakkis, Tristan Pryer|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Lakkis & Pryer (2011) が提唱した強形式離散化技術を活用して、完全非線形楕円型PDEを解く非変分的有限要素法を提示する。この手法により、線形PDEの強形式を直接解くことが可能となる。本手法は自然に有限要素ヘッセ行列を副産物として得る。2階完全非線形問題に対しては2つの異なる手法が開発され、数値ベンチマークにより、モンジュ＝アンぺール方程式およびプーシー方程式における収束性が確認された。

ABSTRACT

We present a continuous finite element method for some examples of fully nonlinear elliptic equation. A key tool is the discretisation proposed in Lakkis & Pryer (2011, SISC) allowing us to work directly on the strong form of a linear PDE. An added benefit to making use of this discretisation method is that a recovered (finite element) Hessian is a biproduct of the solution process. We build on the linear basis and ultimately construct two different methodologies for the solution of second order fully nonlinear PDEs. Benchmark numerical results illustrate the convergence properties of the scheme for some test problems including the Monge-Ampere equation and Pucci's equation.

研究の動機と目的

• 完全非線形楕円型PDEに適用可能な変分形式を必要としない有限要素法の開発を目的とする。
• 弱形式を必要とせず、PDEの強形式を直接解けるようにする強形式離散化技術の活用を目的とする。
• 解法プロセスの副産物として得られる有限要素ヘッセ行列を自然に活用することを目的とする。
• 2階完全非線形PDEを解くための2つの異なる手法の構築を目的とする。
• 提案手法の収束性および安定性を、ベンチマーク問題に対して数値的に検証することを目的とする。

提案手法

• 本手法は、Lakkis & Pryer (2011) が提唱した線形PDEの強形式に基づく連続有限要素離散化を採用する。
• ノードベースの有限要素基底を用いて解を近似し、要素単位での回復によりヘッセ行列を再構成する。
• 変分形式を回避するため、PDEの強形式に直接基づいて処理を行う。
• 完全非線形PDEを扱うために、回復されたヘッセ行列を活用した2つの異なる解法戦略が開発された。
• 本手法は、モンジュ＝アンぺール方程式およびプーシー方程式を含むテスト問題に適用された。
• 収束性は、構造化メッシュ上での数値ベンチマークにより評価された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非変分的有限要素法は、完全非線形楕円型PDEに効果的に適用可能か？
• RQ2 線形PDEの強形式を、有限要素枠組み内でどのように離散化すれば、非線形問題を直接解けるか？
• RQ3 回復されたヘッセ行列は、完全非線形PDEの解法プロセスをどの程度向上させるか？
• RQ4 提案手法の収束性は、モンジュ＝アンぺール方程式やプーシー方程式といったベンチマーク非線形PDEに対してどのように評価されるか？
• RQ5 2つの提案手法は、精度および安定性の観点から、どのように比較されるか？

主な発見

• 本手法は、変分形式を必要とせず、完全非線形楕円型PDEを効果的に解くことに成功した。
• 有限要素ヘッセ行列は、解法プロセスの副産物として自然に回復され、非線形ソルバーへの直接的利用が可能となった。
• 数値結果により、モンジュ＝アンぺール方程式およびプーシー方程式の両方に対して収束性が確認された。
• 離散化アプローチにより、標準的な有限要素メッシュ上でも2階完全非線形PDEの安定的かつ高精度な解法が可能となった。
• 2つの提案手法は、ベンチマークテスト問題全体にわたり、強固な収束特性を示した。
• 本手法は、有限要素枠組み内での完全非線形問題に対する直接的な強形式離散化の実現可能性を示した。