[論文レビュー] A normal measure on a compact connected space

Grzegorz Plebanek|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2015

advanced mathematical theories参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、重み 𝔠 であるコンパクトで連結な空間を構成し、それが正規確率測度を支持することを示し、長年の未解決問題を解決した。この構成は、正規測度が連結コンパクト空間上に存在しうることを示すために、厳密に正の測度を保つ全射を用いた反復拡張の逆極限を用いる。これにより、正の測度の零集合が非空な内部を持つことが保証され、測度論的基準により正規性が満たされる。

ABSTRACT

We present a construction of a compact connected space which supports a normal probability measure.

研究の動機と目的

• コンパクトで連結な空間が正規確率測度を支持できるかどうかという未解決問題を解消すること。
• 位相的重み 𝔠 を持つコンパクトで連結な空間を構成し、それが正規測度を支持することを示すこと。
• 正規測度の存在が、基礎となる空間が非連結でなければならないという主張を否定すること。
• 局所的に連結なコンパクト空間は正規測度を支持できないという従来の結果を拡張すること。

提案手法

• 長さ ω₁ の順序数超限再帰を用いて、ルベーグ測度を備えた [0,1] から出発し、コンパクトで連結な空間の逆系を構成する。
• 各後続段階 α+1 において、空間 L_{α+1} は、補題 3.2 を用いて L_α の「拡張」(L_α)^# として定義され、L_α 内の正の測度の零集合の各像が、L_{α+1} 内で非空な内部を持つように保証される。
• 極限空間 L はこの系の逆極限としてとられ、極限測度 ν は逆極限の普遍性により定義される。
• この構成により、ν(Z) > 0 である閉 G_δ 集合 Z ⊆ L がすべて非空な内部を持つことが保証され、これにより補題 2.1 を用いた正規性の基準を満たす。
• 各段階で位相的重みが保存され、w(L) = 𝔠 が保証される。
• 鍵となる技術的道具は補題 3.2 であり、これは正の測度の零集合の逆像が拡張空間内で非空な内部を持つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的に連結なコンパクト空間が正規確率測度を支持できないという事実にもかかわらず、コンパクトで連結な空間が正規確率測度を支持できるか？
• RQ2 重み 𝔠 のコンパクトで連結な空間が正規測度を支持できるか？
• RQ3 コンパクト空間上に正規測度が存在する場合、その空間が非連結でなければならないという主張は正しいか？
• RQ4 連続体仮説の下で、構成を精緻化し、完全正規空間が得られるか？
• RQ5 どのような位相的および測度論的条件が、コンパクト空間上での測度の正規性を保証するか？

主な発見

• 重み 𝔠 のコンパクトで連結な空間 L が存在し、それが正規確率測度を支持する。これは、問題 1.1 を否定的に解決する。
• L 上の測度 ν は、ν(Z) > 0 である閉 G_δ 集合 Z ⊆ L がすべて非空な内部を持つため、補題 2.1 の基準を満たし、正規性を満たす。
• この構成により、ν が C(L) 上で厳密に正で順序連続であることが保証され、正規性が確認される。
• 空間 L は長さ ω₁ の系の逆極限であり、各段階で連結性と測度論的性質が保存される。
• L の位相的重みは正確に 𝔠 であり、構成が各段階で重みを保存するため保証される。
• 連続体仮説の下では、変種の構成により、完全正規かつ第一可算なコンパクトで連結な空間が得られ、正規測度を支持する（定理 3.3）。