[論文レビュー] A note about EC-$(s,t)$-weak tractability of multivariate approximation with analytic Korobov kernels

Heping Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2018

Mathematical Approximation and Integration参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、最悪ケースおよび平均ケース設定の両方において、解析的コロボフカーネルを用いた多次元近似問題における指数的収束 $(s,t)$-弱 tractability (EC-$(s,t)$-WT) の必要十分条件を確立する。EC-$(s,t)$-WT が成立するための条件は、列 ${ a_k \u007D$ の特定の減衰条件に依存し、$s$ と $t$ の値に応じて異なる基準が適用される。特に $s<1$、$s\geq1$、$t<1$、$t\geq1$ の場合を区別し、情報複雑度の境界を用いて両設定における完全な特徴付けを提供する。

ABSTRACT

This note is devoted to discussing multivariate approximation of continuous functions on $[0,1]^d$ with analytic Korobov kernels in the worst and average case settings. We only consider algorithms that use finitely many evaluations of arbitrary continuous linear functionals. We study EC-$(s, t)$-weak tractability under the absolute or normalized error criterion, and obtain necessary and sufficient conditions for $00$ in the average case setting.

研究の動機と目的

• 解析的コロボフカーネルを用いた多次元近似問題における EC-$(s,t)$-弱 tractability の必要十分条件を同定すること。
• 絶対誤差および正規化誤差基準下で、情報複雑度 $n(\varepsilon, S_d)$ が $\varepsilon^{-1}$ および $d$ の関数としてどのように振る舞うかを分析すること。
• $s,t>0$ および $0<\min(s,t)<1$, $\max(s,t)\leq1$ の場合に、最悪ケースおよび平均ケース設定における EC-$(s,t)$-WT の完全な特徴付けを確立すること。
• 列 $\{a_k\}$ が tractability 決定に果たす役割を明確にすること、特に $\lim_{k\to\infty}a_k = \infty$ または $\lim_{k\to\infty}a_k < \infty$ の場合に注目すること。
• 最悪ケースと平均ケース設定における tractability の比較を行い、ABS（絶対誤差）および NOR（正規化誤差）設定において特定の条件下で等価性が成り立つことを示すこと。

提案手法

• 積型の解析的コロボフカーネル $K_{d,{\bf a},{\bf b}}$ を用いた再生核ヒルベルト空間 $H(K_{d,{\bf a},{\bf b}})$ を使用。定義は $K_{d,{\bf a},{\bf b}}({\bf x},{\bf y}) = \sum_{{\bf h} \in \mathbb{Z}^d} \omega^{\sum_{k=1}^d a_k |h_k|^{b_k}} \exp(2\pi i {\bf h} \cdot ({\bf x} - {\bf y}))$ である。
• 情報複雑度 $n(\varepsilon, S_d)$ を、最小誤差の対数および必要な関数型の数の境界を通じて分析し、tractability の代理指標として $\ln n(\varepsilon, S_d)$ を用いる。
• 既存の先行研究（例：[13], [14], [2]）の知見を応用し、平均ケースにおける EC-$(s,t)$-WT と最悪ケースとの関係を確立。特に、特定の条件下で ABS と NOR の設定が等価であることを示す。
• $\varepsilon^{-1} + d \to \infty$ の漸近的解析を通じて、$\ln n(\varepsilon, S_d)$ の成長率が $(\ln \varepsilon^{-1})^s + d^t$ に対してどのように振る舞うかに注目し、必要十分条件を導出する。
• Young の不等式および対数的境界を用いて、$s>1$, $t<1$ の場合の $s_d$ および $\ln n(\varepsilon, S_d)$ の成長を制御する。
• 平均ケースの複雑度を関連付けるための恒等式 $\frac{\ln n^{\rm avg,ABS}(\varepsilon,d)}{(\ln \varepsilon^{-1})^s + d} = \frac{[\ln(e^{\rm avg}(0,d)\varepsilon^{-1})]^s + d}{(\ln \varepsilon^{-1})^s + d} \cdot \frac{\ln n^{\rm avg,NOR}((e^{\rm avg}(0,d))^{-1}\varepsilon,d)}{[\ln(e^{\rm avg}(0,d)\varepsilon^{-1})]^s + d}$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最悪ケース設定において、$0 < \min(s,t) < 1$ および $\max(s,t) \leq 1$ のとき、列 $\{a_k\}$ に対して EC-$(s,t)$-弱 tractability が成立するための必要十分条件は何か？
• RQ2 平均ケース設定において、$s,t > 0$ のとき、EC-$(s,t)$-弱 tractability が成立する条件は何か？
• RQ3 特に $s<1$, $t<1$ または $s>1$, $t<1$ の場合に、最悪ケースと平均ケース設定における EC-$(s,t)$-WT の条件はどのように異なるか？
• RQ4 $\{a_k\}$ の発散、すなわち $\lim_{k\to\infty} a_k = \infty$ が、$s \geq 1$, $t=1$ のとき EC-$(s,t)$-WT を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 $s>1$, $t<1$ のとき、EC-$(s,t)$-WT は $a_k$ の減衰のみによって特徴付けられるか？ もしそうならば、正確な条件は何か？

主な発見

• 最悪ケース設定では、$s \geq 1$ かつ $t=1$ のとき、EC-$(s,t)$-WT が成り立つための必要十分条件は $\lim_{k\to\infty} a_k = \infty$ である。また、$s<1$, $t\leq1$ の場合、$\sum_{k=1}^\infty \omega^{a_k} < \infty$ が成り立つことが必要十分条件である。
• 平均ケース設定では、$0<s\leq1$, $t>1$ の場合、条件に制限なく EC-$(s,t)$-WT が成り立つ。一方、$s>1$, $t<1$ の場合、$\sum_{k=1}^\infty \omega^{a_k} < \infty$ が成り立つことが必要十分条件である。
• $s>1$, $t<1$ の場合、平均ケース設定における EC-$(s,t)$-WT が成り立つための必要十分条件は $\sum_{k=1}^\infty \omega^{a_k} < \infty$ であり、これは $s<1$, $t\leq1$ の場合の条件とも一致する。
• $s=1$, $t<1$ の場合、平均ケース設定における EC-$(s,t)$-WT が成り立つための必要十分条件は $\sum_{k=1}^\infty \omega^{a_k} < \infty$ であり、これは $\lim_{k\to\infty} a_k = \infty$ と同値である。
• ABS と NOR の設定間の等価性は、$n^{\rm avg,ABS}$ と $n^{\rm avg,NOR}$ を関連付ける恒等式を通じて確立され、正規化誤差と絶対誤差基準間の結果の移行が可能になる。
• $s>1$, $t<1$ の場合、証明により $\sum_{k=1}^\infty \omega^{a_k} < \infty$ の下で $\lim_{\varepsilon^{-1}+d\to\infty} \frac{\ln n^{\rm avg,ABS}(\varepsilon,d)}{(\ln \varepsilon^{-1})^s + d^t} = 0$ が成り立つことが示され、条件が十分かつ必要であることを確認している。