[論文レビュー] A note on a new existence result for reflected BSDEs with interconnected obstacles

Tiziano De Angelis, Giorgio Ferrari+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ i $ 番目の成分のドライバー $ f_i $ が $ Z $-プロセスのすべての成分に依存するが、$ Z^i $ のみに依存するという従来の理論とは異なり、相互に接続された障害物を有するマルコフ型後向き確率微分方程式（BSDE）系に対して解の存在を確立する。主な貢献は、罰則スキーム、罰則項の一様有界性、および基礎となる拡散過程の遷移密度に対する支配条件を用いた、独創的な存在証明である。

ABSTRACT

In this note we prove existence of a solution to a system of Markovian BSDEs with interconnected obstacles. A key feature of our system, and the main novelty of this paper, is that we allow for the driver $f_i$ of the $i$-th component of the $Y$-process to depend on all components of the $Z$-process. This extends the existing theory on reflected BSDEs, which only addresses problems where $f_i$ depends on $Z^i$.

研究の動機と目的

• 反射BSDE理論におけるギャップを解決する。具体的には、ドライバー $ f_i $ が $ Z^i $ のみに依存するのではなく、すべての $ Z $-成分に依存する場合、従来の比較原理が成立しないためである。
• ドライバー $ f_i $ が $ (Z^k)_{k \neq i} $ も含め $ Y $-成分に依存するマルコフ型設定下で、相互に接続された障害物を有する反射BSDE系の解の存在を確立する。
• 新しい枠組みでは比較原理が成立しないため、罰則法と弱収束に基づく新たな解析的手法を開発して、その欠如を補う。
• 解 $ (Y^i, Z^i) $ が時間と状態過程 $ X^{t,x} $ の決定的関数として表現されることを示す。これは応用上極めて重要である。
• 非マルコフ型設定における最適スイッチング問題との関連を含め、今後の研究の基盤を築く。

提案手法

• 相互に接続された障害物を有する反射BSDE系の反射制約を扱うための罰則スキームを導入する。
• 命題3.1を用いて、罰則項の時間微分の一様有界性を確立し、近似における安定性を保証する。
• 状態過程 $ X^{t,x} $ の遷移密度に対する支配条件を活用して、罰則方程式の解の弱収束を部分列に沿って示す。
• チェビシェフの不等式と一様収束を用いて、極限過程がほとんど確実に反射条件を満たすことを示す。
• 各 $ Z^{i,n} $-成分が $ (t, X^{t,x}_t) $ の可測関数として表現可能であるという事実を活用し、極限がマルコフ型表現を継承できることを示す。
• 極限過程 $ (Y^i, Z^i, K^i) $ が、元の反射BSDE系の3条件（反射条件、補完性条件、適切なフィルトレーション下での可適性）をすべて満たすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドライバー $ f_i $ が $ Z^i $ のみに依存するのではなく、$ Z $-プロセスのすべての成分に依存する場合、相互に接続された障害物を有する反射BSDE系に対して解が存在しうるか？
• RQ2 比較原理が成立しない状況下で、どのように存在を証明できるか？　通常、BSDE理論における存在結果は比較原理に依存している。
• RQ3 係数および拡散過程にどのような条件を課すと、この一般化された枠組みで解の存在が保証されるか？
• RQ4 解 $ (Y^i, Z^i) $ は、マルコフ型の場合と同様に、時間と状態過程 $ X^{t,x} $ の決定的関数として表現可能か？
• RQ5 罰則スキームによって得られる収束する部分列の極限が、元の相互に接続された障害物を有する反射BSDE系を満たすか？

主な発見

• $ \rho\theta\theta^\top $ が有界かつ一様強退化であるという仮定の下で、相互に接続された障害物を有する反射BSDE系は解を有する。
• スイッチングコスト $ g_{ij} $ が十分に滑らかであるという条件の下で、罰則スキームにおける基本的で一様な境界が得られ、存在証明が可能となる。
• 罰則項の時間微分が一様に有界であることは、命題3.1で示された重要な技術的結果である。
• 極限解 $ (Y^i, Z^i, K^i) $ は反射条件を満たす。具体的には、$ Y^i_s \to \text{max}_{j \neq i} (Y^j_s - g_{ij}(s, X^{t,x}_s)) $ であり、補完性条件はほとんど確実に成立する。
• 解の成分 $ Y^i $ と $ Z^i $ は、$ (t, X^{t,x}_t) $ の決定的関数として表現可能である。すなわち、$ Y^i_{s} = u^i(s, X^{t,x}_s) $ および $ Z^i_{s} = v^i(s, X^{t,x}_s) $ と表され、これは補題3.6で示されている。
• 証明は、$ X^{t,x}_s $ の遷移密度に対する支配条件に依存しており、これにより局所時間測度 $ dK^{i,n} $ が $ dK^i $ に弱収束することが保証される。