[論文レビュー] A note on a sports league scheduling problem

Jean-Philippe Hamiez, Jin‐Kao Hao|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2014

Scheduling and Timetabling Solutions参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、NP困難なスポーツリーグスケジューリング問題（CSPLibのprob026）の列挙探索アルゴリズムEnASSを、探索を加速しバックトラックを削減する2つの新しい制約に基づくルールを導入することで改善している。改良されたアルゴリズムEnASS4は、T = 12から70のすべてのインスタンスを解けるようになった。これはT > 50のケースで従来の方法では未解決であったが、顕著な性能向上を示し、以前の手法よりも範囲を広げた解法を実現した。

ABSTRACT

Sports league scheduling is a difficult task in the general case. In this short note, we report two improvements to an existing enumerative search algorithm for a NP-hard sports league scheduling problem known as "prob026" in CSPLib. These improvements are based on additional rules to constraint and accelerate the enumeration process. The proposed approach is able to find a solution (schedule) for all prob026 instances for a number T of teams ranging from 12 to 70, including several T values for which a solution is reported for the first time.

研究の動機と目的

• T > 50のチーム数に対して既存の手法が失敗するNP困難なバランストーナメントデザイン問題（prob026）を解く挑戦に応えること。
• 探索空間を縮小する新しい制約ルールを導入することで、列挙探索アルゴリズムEnASSの効率を向上させること。
• prob026の解法範囲をT = 12から70まで拡張し、特にT ≡ 0 mod 4のケースを含め、従来未解決であったケースもすべて解けるようにすること。
• 観察された解のパターンから導かれる制約に基づく刈り込みルールが、組合せスケジューリングにおける探索を顕著に加速させることを検証すること。

提案手法

• 元のEnASSアルゴリズムは、週単位制約（c_W）とペアマッチ制約（c_H）のみを満たす矛盾を含む初期割り当てから開始し、その後バックトラックを用いて期間制約（c_P）を満たす。
• 最初の改良であるEnASS3は、各週の最初と最後の期間を入れ替える新しいルールr'_Dを導入し、対称性の取り扱いを改善し、探索空間を縮小した。
• 2番目の改良であるEnASS4は、週2とW-1を入れ替える新しいルールr'_Iを追加し、対称性を保持しながら探索中に無効な割り当てをさらに制限した。
• ルールr'_Dとr'_Iは、対称的または無効な部分割り当てを探索しないようにバックトラック中に強制される制約集合R4に統合された。
• アルゴリズムは、P×Wのスケジュール表を1行ずつ埋める再帰的バックトラッキングフレームワークを用い、探索を導くために動的である週と期間の境界（w_f, w_l）を用いた。
• この手法は、初期の矛盾を含む割り当てを生成するためのパターン付き1因子分解を活用し、c_Hとc_Wが初期から満たされるようにした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 観察された解のパターンから、prob026の探索空間を縮小するための追加の対称性打破制約を導出できるか？
• RQ2 解の対称性を保持しながら、冗長な分岐を排除する新しいルールを用いて、探索空間を効果的に刈り込むことができるか？
• RQ3 改良されたEnASSアルゴリズムは、T = 12から70のprob026インスタンスをすべて解けるか、特にT ≡ 0 mod 4のケースで従来未解決であったものも含むか？
• RQ4 従来の制約ルール（r_Iとr_D）と比較して、新しいルールr'_Dとr'_Iは性能とスケーラビリティにおいて優れているか？

主な発見

• EnASS4は、T = 12から70のprob026インスタンスをすべて解けるようになった。特にT ≡ 0 mod 4のケースで、従来未解決であったものも含む。
• T = 52の場合、EnASS4は50.11秒で解を発見し、101,432,823回のバックトラックを経験した。これは、このインスタンスにおいてEnASS1およびEnASS2を顕著に上回った。
• T = 70は約18日で解けた。これは、従来の比較で用いられた3時間の制限を超えるスケーラビリティを示した。
• T ≡ 0 mod 4のケースを解くために、週2とW-1を入れ替える新しいルールr'_Iが不可欠であった。従来の手法ではこれらのケースは失敗していた。
• EnASS4は、T = 58およびT = 60のケースで、EnASS1に比べてバックトラックを最大90％まで削減した。
• 本手法は、T = 12から70のすべてのインスタンスを解ける最初の手法であり、T = 52から70の最初の解は、提供されたURLでオンラインで入手可能である。