[論文レビュー] A note on a supersingular K3 surface in characteristic 2

Toshiyuki Katsura, Shigeyuki Kondō|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、特徴2の下でアーティン不変量1の上記の特異K3表面を、$E \times E$ の商を特徴付けるスイープトロピックな自己同型（位数3）による一般化されたクマーマン・サーフェスとして構成する。ここで $E$ は特異な楕円曲線である。明示的に42個の交わらない有理曲線の $(21)_5$-配置を提示する。そのうち18個は $A_2$-特異点の解消から得られ、残りの24個は商上の楕円曲線から得られる。各曲線は他方の集合からちょうど5本の曲線と交わる。これは、この特徴2における一意な特異K3表面の新しい幾何的実現である。

ABSTRACT

We construct, on a supersingular K3 surface with Artin invariant 1 in characteristic 2, a set of 21 disjoint smooth rational curves and another set of 21 disjoint smooth rational curves such that each curve in one set intersects exactly 5 curves from the other set with multiplicity 1 by using the structure of a generalized Kummer surface.

研究の動機と目的

• 特徴2におけるアーティン不変量1の唯一の特異K3表面の新しい幾何的構成を提供すること。
• 一般化されたクマーマン・サーフェスの構造を用いて、この表面に42個の交わらない有理曲線の $(21)_5$-配置を実現すること。
• 表面が、特異な楕円曲線 $E$ 上の位数3の自己同型 $\sigma$ による $E \times E / \langle \sigma \rangle $ の最小解消として得られることを示すこと。これにより、$A_2$-特異点から18本の例外的曲線が得られる。
• $E \times E$ 上の24本の楕円曲線とその解消後の像が、$(21)_5$-配置を形成することを示し、表面の新しい実現を完成させること。

提案手法

• 一般化されたクマーマン・サーフェス $\mathrm{GKm}(A)$ を、$A = E \times E$ および $\iota$ を位数3のスイープトロピックな自己同型とする $A / \langle \iota \rangle $ の最小解消として構成する。
• 18本の有理曲線を、商特異点に由来する9個の $A_2$-型の有理的二重点の解消として得られる例外的除算子として特定する。
• 24本の追加の有理曲線を、群作用に関して不変な $E \times E$ 上の楕円曲線の像として特定する。
• ネロン＝ターテの高さペアリングおよびネロン＝セーヴァー・ネルス上の交点論を用いて、24本の曲線と18本の例外的曲線が $(21)_5$-配置を形成することを検証する。
• Tate–Shioda 公式を用いて、$\mathrm{GKm}(A)$ のピカール数が22で、アーティン不変量が1であることを確認し、特徴2における唯一の特異K3表面と同型であることを証明する。
• 四つの $I_6$ ファイバーと18本のセクションを持つ楕円的ファイブレーション構造を用いて、$\mathrm{GKm}(A)$ と既知の特異K3表面モデルとの同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴2におけるアーティン不変量1の唯一の特異K3表面は、$E \times E$ と位数3のスイープトロピックな自己同型を用いた一般化されたクマーマン・サーフェスから構成可能か？
• RQ2 9個の $A_2$-特異点の解消から得られる18本の例外的曲線と、商上の24本の楕円曲線は、有理曲線の $(21)_5$-配置を形成するか？
• RQ3 四つの $I_6$ ファイバーと18本のセクションを持つ $\mathrm{GKm}(A)$ 上の楕円的ファイブレーション構造は、既知の特異K3表面モデルとどのように関係するか？
• RQ4 座標を入れ替えることによって定義される $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$ 上の表面における対合 $\iota$ の役割は何か？また、これと $(21)_5$-配置とはどのように関係するか？
• RQ5 一般化されたクマーマン・サーフェス $\mathrm{GKm}(A)$ は、アーティン不変量1の特異K3表面と同型であるか？この同型を確認する不変量は何か？

主な発見

• $A = E \times E$ と位数3のスイープトロピックな自己同型を用いた一般化されたクマーマン・サーフェス $\mathrm{GKm}(A)$ は、アーティン不変量1の特異K3表面である。
• 表面には、商 $A / \langle \sigma \rangle $ の9個の $A_2$-型有理的二重点の解消から生じる18本の例外的有理曲線が存在する。
• 表面には、$E \times E$ 上の楕円曲線の像として得られる24本の追加の有理曲線が存在し、これらは18本の例外的曲線と合わせて $(21)_5$-配置を形成する。
• 24本の曲線族に属する各曲線は、18本の曲線族からちょうど5本の曲線と交わる（逆も同様）。交点多重度は1である。
• $\mathrm{GKm}(A)$ 上の楕円的ファイブレーションは、4つの $I_6$ 型特異ファイバーを持ち、18本の例外的曲線は $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ に同型なモーデル＝ヴェイユ群を形成する。
• $\mathrm{GKm}(A)$ は、ピカール数22および Tate–Shioda 公式による判別式 $-2^2$ によって確認され、特徴2における唯一のアーティン不変量1の特異K3表面と同型である。