[論文レビュー] A note on an alternative iterative method for nonexpansive mappings

Laurenţiu Leuştean, Adriana Nicolae|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2015

Optimization and Variational Analysis参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、測地的空間における非拡大写像に対する代替的反復法が、よく知られたハルペルン反復と本質的に同等であることを示している。著者らは、代替的反復法によって生成される列がハルペルン反復の再パラメータ化であることを示し、ハルペルン法の強収束性および漸近的正則性に関するすべての結果が、変更なしに代替的反復法にも直接適用可能であることを確立している。

ABSTRACT

In this note we point out that results on the asymptotic behaviour of an alternative iterative method are corollaries of corresponding results on the well-known Halpern iteration.

研究の動機と目的

• 非拡大写像に対する代替的反復法と古典的ハルペルン反復との関係を明確化すること。
• 代替的反復スキームの収束行動に関して、文献における曖昧さを解消すること。
• ハルペルンの反復法に関する強収束性および漸近的正則性の結果が、代替的反復法にも直接適用可能であることを確立すること。
• 代替的反復法の文脈において、既存の定量的収束結果を再利用するための理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 非拡大写像 $ T $ および $ (\nu_n) \subseteq [0,1] $ を用いて、代替的反復列 $ x_{n+1} = T(\nu_{n+1}u + (1-\nu_{n+1})x_n) $ を定義する。
• 補助列 $ y_{n+1} = \nu_{n+1}u + (1-\nu_{n+1})x_n $ を導入し、$ n \geq 1 $ に対して $ x_n = T y_n $ が成り立つことを示す。
• 列 $ (y_n) $ がハルペルン反復の再帰的関係 $ y_{n+1} = \nu_{n+1}u + (1-\nu_{n+1})T y_n $ を満たすことを証明する。
• 写像 $ T $ の非拡大性を用いて、$ T $ の任意の不動点 $ p $ に対して $ d(x_n, p) \leq d(y_n, p) $ が成り立つことを導出する。
• $ d(x_m, x_n) \leq d(y_m, y_n) $ が成り立つことを確立し、これにより $ (y_n) $ の収束性および正則性の性質が $ (x_n) $ に伝わることを示す。
• 既知のハルペルン反復に関する結果を活用し、$ (y_n) $ の強収束性および漸近的正則性が $ (x_n) $ のそれらを示唆することを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測地的空間における非拡大写像に対する代替的反復法は、ハルペルン反復と本質的に異なるものか？
• RQ2 ハルペルン反復の収束性および正則性に関する結果を、代替的反復法にそのまま適用できるか？
• RQ3 代替的反復法は、ハルペルン反復と同じ漸近的正則性の速度を継承するか？
• RQ4 代替的反復列が非拡大写像 $ T $ の不動点に強く収束するための条件は何か？
• RQ5 ハルペルンの反復法に関する定量的収束結果を、代替的反復法に変更なしに適用できるか？

主な発見

• $ y_{n+1} = \nu_{n+1}u + (1-\nu_{n+1})x_n $ で定義される列 $ (y_n) $ は、標準的なハルペルン反復である。
• 代替的反復法によって生成される列 $ (x_n) $ はすべての $ n \geq 1 $ に対して $ x_n = T y_n $ を満たすため、ハルペルン列の再パラメータ化である。
• 列 $ (y_n) $ が不動点 $ p $ に強く収束するならば、列 $ (x_n) $ も同様に $ p $ に強く収束する。
• 列 $ (y_n) $ の漸近的正則性がレート $ \Phi $ で成り立つならば、列 $ (x_n) $ に対しても同じ速度の漸近的正則性が成り立ち、定量的バインディングが保たれる。
• ハルペルン反復法に関するすべての強収束性および漸近的正則性の結果が、代替的反復法に対しても直接適用可能である。
• 文献[13, 定理4.1]における代替的反復法の主結果は、[12, 定理3.1]および[10, 9]を含む既知のハルペルン反復に関する結果の系である。