[論文レビュー] A Note On Boundary Conditions In Euclidean Gravity

Edward Witten|arXiv (Cornell University)|May 29, 2018

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ユークリッド一般相対性理論における境界条件を分析し、ディリクレ境界条件（境界での計量を固定）が一般には楕円型でないため、摂動的量子重力理論に不適切である一方で、共形境界条件—境界の共形類とその外法線曲率のトレースを指定する—は楕円型系を形成し、良好に振る舞う摂動論を可能にする。主な結果は、補助的演算子の楕円性が、有限次元の核と余核を保証することであり、これにより、一般にディリクレ条件が非楕円的であるにもかかわらず、パラメトリックスと妥当な量子場理論の摂動展開が可能になることである。

ABSTRACT

We review what is known about boundary conditions in General Relativity on a spacetime of Euclidean signature. The obvious Dirichlet boundary condition, in which one specifies the boundary geometry, is actually not elliptic and in general does not lead to a well-defined perturbation theory. It is better-behaved if the extrinsic curvature of the boundary is suitably constrained, for instance if it is positive- or negative-definite. A different boundary condition, in which one specifies the conformal geometry of the boundary and the trace of the extrinsic curvature, is elliptic and always leads formally to a satisfactory perturbation theory. These facts might have interesting implications for semiclassical approaches to quantum gravity. (Submitted to a volume in honor of Roman Jackiw.)

研究の動機と目的

• ディリクレ境界条件が非楕円的であるため、一般相対性理論における摂動論が不適切になる理由を明確化すること。
• 境界の共形構造と外法線曲率のトレースを固定する共形境界条件—が、摂動的量子重力理論に適した楕円型系を形成することを確立すること。
• 一般にディリクレ条件が非楕円的であるにもかかわらず、境界の外法線曲率が定符号（正または負）であれば、補助的楕円型境界条件を介して摂動論が成立しうることを示すこと。
• 共形境界条件の下で線形化されたアインシュタイン演算子の核と余核が有限次元であることから、パラメトリックスの存在が保証され、量子摂動論の前提が満たされることを示すこと。
• 特にゲージ固定とゼロモードの文脈において、楕円性、フレドホルム性、および摂動論の可能性の数学的差異を明確にすること。

提案手法

• 計量を固定するディリクレ条件と、共形類と外法線曲率トレースを固定する共形条件を比較することで、重力における境界条件の楕円性を分析する。
• フレドホルム作用素の理論を適用し、楕円型境界条件が有限次元の核と余核を保証することを示し、これはプロパゲーターの構成に不可欠である。
• ゲージ固定を用いてアインシュタイン方程式を、非退化な運動項を持つ2階微分作用素に還元し、標準的な摂動論的解析を可能にする。
• 線形化されたアインシュタイン方程式の可解性を分析するために、共形境界条件の下で楕円型であることが示される補助作用素 $ L'' $ を導入する。
• ベクトル場 $ v^\mu $ を従う境界値問題 $ Pv = 0 $ が解をもつこと—境界条件 $ v^i|_M = 0 $、$ v^\perp|_M = \gamma $ を満たす—が、計量摂動方程式における非同次項を相殺できることを示す。
• 計量摂動のヒルベルト空間構造に基づく内積恒等式を用いて、核と余核の双対性を適用し、余核が有限次元であれば核も有限次元であり、逆も成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜディリクレ境界条件—境界での計量を固定する—は、一般相対性理論における一貫した摂動展開を支持できないのか？
• RQ2 共形境界条件—境界の共形構造と外法線曲率のトレースを固定する—は、どのように楕円型系を形成するのか？
• RQ3 ディリクレ境界条件が非楕円的であるにもかかわらず、どのような条件下で良好に振る舞う摂動論を支持できるのか？
• RQ4 補助的楕円型作用素 $ L'' $ が、ディリクレ条件の下で線形化アインシュタイン作用素の核と余核が有限次元であることを保証する役割は何か？
• RQ5 線形化アインシュタイン作用素の核と余核の同型性は、量子重力におけるパラメトリックスの存在とどのように関係するのか？

主な発見

• ディリクレ境界条件は一般に楕円型ではなく、したがって無限次元のゼロモード問題を引き起こす可能性があるため、一般に良好に振る舞う摂動論を保証しない。
• 境界の共形類と外法線曲率トレースを指定する共形境界条件は楕円型であり、線形化アインシュタイン作用素の核と余核が有限次元であることを保証する。
• 境界の外法線曲率が正定倣または負定倣であれば、ディリクレ境界条件を用いた線形化アインシュタイン方程式はフレドホルム的であり、非楕円的であるにもかかわらず、パラメトリックスの存在が可能性である。
• 境界条件 $ v^i|_M = 0 $、$ v^\perp|_M = \gamma $ を満たすベクトル場 $ v^\mu $ に対する方程式 $ Pv = 0 $ が解を持つことにより、計量摂動方程式における非同次項を相殺でき、制約を modulo として解が存在することが保証される。
• ディリクレ条件の下で線形化アインシュタイン作用素の余核は、その核と同型であり、補助作用素 $ L'' $ が楕円型であれば、両者とも有限次元である。これは、系が楕円的であるかのように振る舞うことを示唆する。
• 本稿は、補助作用素 $ L'' $ の楕円性が、ディリクレ条件を用いた線形化アインシュタイン作用素の有限次元余核を保証することを確立し、これはパラメトリックスの構成と摂動的量子重力理論の実現に十分である。