[論文レビュー] A note on BSDEs and SDEs with time advanced and delayed coefficients

Shiqiu Zheng, Gaofeng Zong|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、現在、過去、および未来の解値に依存する係数を有する後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）およびストキャスティック微分方程式（SDE）を導入する。時間遅れが小さいか、リプシッツ定数が小さい場合に、解の存在および一意性が証明され、両方の方程式クラス間の双対性が確立される。

ABSTRACT

This paper introduces a class of backward stochastic differential equations (BSDEs), whose coefficients not only depend on the value of its solutions of the present but also the past and the future. For a sufficiently small time delay or a sufficiently small Lipschitz constant, the existence and uniqueness of such BSDEs is obtained. As the adjoint process, a class of stochastic differential equations (SDEs) is introduced, whose coefficients also depend on the present, the past and the future of its solutions. The existence and uniqueness of such SDEs is proved for a sufficiently small time advance or a sufficiently small Lipschitz constant. A duality between such BSDEs and SDEs is established.

研究の動機と目的

• 解の過去および未来の値に依存する係数を組み込んだ古典的BSDEおよびSDEの拡張を目的とする。
• 未来および過去の解状態に非マルコフ的かつ非予測可能な依存性を有する確率微分方程式を解くという数学的課題に取り組む。
• 時間遅れが小さいか、リプシッツ定数が小さい条件の下で、このような方程式の解の存在および一意性を確立する。
• 解の現在、過去、および未来の値に依存する係数を有する、同様の性質を持つ随伴SDEクラスを定義し、その解析を行う。
• 提案されたBSDEおよびSDEクラスの間の双対性関係を確立し、確率積分の古典的双対性を一般化する。

提案手法

• 生成子が解の現在、過去、および未来の値に依存する新しいタイプのBSDEを導入する。
• 適切な関数空間における不動点議論を用いて、時間遅れが小さいか、リプシッツ定数が小さい仮定の下で解の存在および一意性を証明する。
• 解の現在、過去、および未来の状態に依存する係数を有する随伴SDEクラスを定義する。
• 収縮写像原理を用いて、時間の進んだ項が小さいか、リプシッツ定数が小さい条件の下でSDEの解の存在および一意性を確立する。
• 解の構造および生成子の依存関係を比較することで、BSDEとその随伴SDEとの間の双対関係を導出する。
• 非マルコフ的かつ非予測可能な系に特化した、時間的記憶効果を有する確率解析的手法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解の現在、過去、および未来の値に依存する係数を有するBSDEが、どのような条件下で一意な解を有するか。
• RQ2 随伴SDEは、どのような形で定義されるべきか。その係数は、BSDEと同様に、時間的依存性（現在、過去、未来）を有する。
• RQ3 時間の進んだ項および遅れ項を有するSDEに対して、解の存在および一意性が保証される条件は何か。
• RQ4 このようなBSDEとSDEとの間で、どのように双対性を確立できるか。
• RQ5 小さな時間遅れまたは小さなリプシッツ定数は、これらの方程式の可解性にどのように影響するか。

主な発見

• 時間遅れが十分に小さいか、リプシッツ定数が十分に小さい場合に、提案されたBSDEの解の存在および一意性が確立される。
• 解の現在、過去、および未来の値に依存する係数を有する随伴SDEクラスが導入され、同様の小さな条件の下で一意解が存在することが証明される。
• BSDEとその随伴SDEとの間で、正式な双対性関係が確立され、確率制御における古典的双対性を一般化する。
• 結果として、未来および過去の解値を含む非マルコフ的で記憶効果を有する動的ダイナミクスを含む、古典的BSDEおよびSDE理論が拡張される。
• 本フレームワークは、確率的設定下での予測的または遅延フィードバックを有するシステムのモデリングに基盤を提供する。
• 収縮写像原理を適切な確率的関数空間で用いることで、収束性および一意性を保証する解析に依拠する。