[論文レビュー] A note on ${\cal N}\ge 6$ Superconformal Quantum Field Theories in three dimensions

Denis Bashkirov|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、3次元における${\cal N} \geq 6$の非可約超共形量子場理論が、ストレステンソル multiplet の構造に起因して、常にグローバル$U(1)$対称性を含む必要があることを示している。また、${\cal N}=7$の超共形理論は、ユニタリティと超共形代数の整合性から、必然的に${\cal N}=8$の超対称性に拡張されることを証明しており、このクラスに純粋な${\cal N}=7$理論が存在しないことを説明している。

ABSTRACT

Based on the structure of the three-dimensional superconformal algebra we show that every irreducible ${\mathcal N}=6$ three-dimensional superconformal theory containes exactly one conserved U(1)-symmetry current in the stress tensor supermultiplet and that superconformal symmetry of every ${\mathcal N}=7$ superconformal theory is in fact enhanced to ${\mathcal N}=8$. Moreover, an irreducible ${\cal N}=8$ superconformal theory does not have any global symmetries. The first observation explains why all known examples of ${\mathcal N}=6$ superconformal theories have a global abelian symmetry.

研究の動機と目的

• 3次元における既知のすべての${\cal N}=6$ SCFTがグローバル$U(1)$対称性を有することの経験的観察を説明すること。
• ${\cal N}=7$超共形場理論が${\cal N}=8$理論とは独立して存在可能かどうかを特定すること。
• ユニタリティと超共形代数との整合性から、任意の${\cal N}=7$ SCFTが実際には${\cal N}=8$であることを確立すること。
• ストレステンソル multiplet 及びその$SO({\cal N})_R$に関する分解が、グローバル対称性を制約する役割を明らかにすること。

提案手法

• 超共形群の部分群$SO(2) \times SO(3) \times SO({\cal N})_R$を用いて、${\cal N} \geq 6$の3次元SCFTにおけるストレステンソルの超共形 multiplet 構造を分析する。
• ストレステンソル multiplet の最低成分が、$SO({\cal N})_R$に関してランク4の反対称テンソルとして作用することを特定する。${\cal N}=6$の場合は、ランク2の反対称テンソルと等価である。
• ${\cal N}=6$理論において、ストレステンソル multiplet の2番目のレベルに存在するオペレーターが、$R$-カレントと保存されるグローバル$U(1)$カレントを含むことを利用している。これは、ランク2とランク4のテンソルの双対性に起因する。
• ${\cal N}=7$理論における$U(1)$対称性の$SO(7)_R$への埋め込みを検討し、$R$-対称性群と可換かどうかを検証する。
• $SO(6)_R$に沿った$SO(7)_R$の${\bf 35}$表現の分解を表現論を用いて行い、${\bf 15} + {\bf 10} + {\bf \overline{10}}$が得られ、これは${\cal N}=8$の分解と一致することを示す。
• $U(1)$対称性が$SO(7)_R$と可換である場合、スケーラー演算子に作用する超電荷の二重積$Q_{(\alpha}^{[i} Q_{\beta)}^{j]}$により、$SO(7)_R$を超える保存カレントが生成されることを示し、これにより$\mathcal{N}=8$への拡張が必然であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ既知のすべての3次元${\cal N}=6$超共形場理論がグローバル$U(1)$対称性を有するのか？
• RQ2 ${\cal N}=7$超共形場理論が${\cal N}=8$に拡張されないまま一貫して存在可能か？
• RQ3 ストレステンソル multiplet の構造が、${\cal N} \geq 6$ SCFTにおけるグローバル対称性に及ぼす制約は何か？
• RQ4 ${\cal N}=6$理論における$U(1)$対称性は、より高い$\mathcal{N}$理論の$R$-対称性群にどのように埋め込まれるか？
• RQ5 ${\cal N}=7$理論における$U(1)$カレントが$SO(7)_R$と可換である場合、どのような結果が得られるか？矛盾を引き起こすか？

主な発見

• 3次元における非可約${\cal N}=6$超共形量子場理論は、すべて、ストレステンソル multiplet の2番目のレベルに位置する1つの保存グローバル$U(1)$カレントを含む。
• この$U(1)$対称性の存在は、${\cal N}=6$に特有の$SO(6)_R$に関してランク2とランク4の反対称テンソルの等価性に起因する。
• ${\cal N}=7$理論における$U(1)$対称性が$SO(7)_R$と可換である場合、超電荷の二重積により、$SO(7)_R$が許容する範囲を超える保存カレントが生成され、追加の$R$-対称性が存在することを示唆する。
• この保存カレントの過剰な存在は、$R$-対称性群を$SO(7)_R$から$SO(8)_R$に拡張する必要を生じさせ、結果として理論は${\cal N}=8$超対称性に拡張される。
• したがって、純粋な${\cal N}=7$超共形場理論は存在できない。任意のこのような理論は${\cal N}=8$でなければならない。
• その結果、すべての${\cal N}=8$超共形場理論は、$U(1)$カレントが$R$-対称性群$SO(8)_R$に含まれるため、グローバル対称性を持たない。