[論文レビュー] A Note on Central Limit Theorems for Linear Spectral Statistics of Large Dimensional F-matrix

Shurong Zheng, Zhidong Bai|arXiv (Cornell University)|May 2, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、中心化された標本共分散行列を用いた大規模次元 F 行列の線形スペクトル統計（LSS）に対する中心極限定理（CLT）を確立し、Bai と Silverstein（2004）の CLT 結果が、単純化された標本共分散行列の代わりに中心化されたバージョンを用いても、次元対標本サイズ比を $ p/(n-1) $ および $ p/(n_i-1) $ に調整すれば依然として有効であることを示している。主な貢献は、Pan（2012）の結果をより明快な表現と証明を用いて簡略化・同等の再定式化することにある。

ABSTRACT

Sample covariance matrix and multivariate $F$-matrix play important roles in multivariate statistical analysis. The central limit theorems {\sl (CLT)} of linear spectral statistics associated with these matrices were established in Bai and Silverstein (2004) and Zheng (2012) which received considerable attentions and have been applied to solve many large dimensional statistical problems. However, the sample covariance matrices used in these papers are not centralized and there exist some questions about CLT's defined by the centralized sample covariance matrices. In this note, we shall provide some short complements on the CLT's in Bai and Silverstein (2004) and Zheng (2012), and show that the results in these two papers remain valid for the centralized sample covariance matrices, provided that the ratios of dimension $p$ to sample sizes $(n,n_1,n_2)$ are redefined as $p/(n-1)$ and $p/(n_i-1)$, $i=1,2$, respectively.

研究の動機と目的

• 高次元設定において、中心化された標本共分散行列と単純化された標本共分散行列を用いた線形スペクトル統計（LSS）の中心極限定理（CLT）に生じる不整合を解消すること。
• Bai と Silverstein（2004）の単純化された標本共分散行列の LSS に対する CLT が、中心化された行列を用いても、修正された漸近的スケーリングのもとで有効であることを示すこと。
• この有効性を多変量 F 行列へと拡張し、次元対標本サイズ比を $ p/(n_1-1) $ および $ p/(n_2-1) $ に再定義すれば、Zheng（2012）の結果が中心化された F 行列に対しても成り立つことを示すこと。
• 追加のバイアス補正項を必要としない、Pan（2012）のものよりも単純かつ透明性の高い証明フレームワークを提供すること。

提案手法

• 元の比 $ y_n = p/n $ を $ p/(n-1) $ に置き換えることにより、中心化された標本共分散行列の LSS の漸近的平均および分散の式を再定式化する。
• 線形変換におけるスペクトル統計の不変性と、中心化された行列と単純化された行列の間での極限スペクトル分布（LSD）の同等性を用いる。
• 切断と正規化技術を用いて、$ oldsymbol{S}_x $ と $ oldsymbol{B}_x $ の経験的スペクトル分布（ESD）の誤差を制御し、その差が $ O(n^{-1}) $ であることを示す。
• Bai と Silverstein（2009）の行列トレース展開およびステュルツェス変換に関する結果を活用し、リゾルベントの漸近的挙動を導出する。
• 複素解析およびリゾルベント恒等式を用いて、$ oldsymbol{A}^{-1} $、$ oldsymbol{A}^{-2} $、および $ oldsymbol{ abla} $ を含むトレースの極限挙動を導出し、$ L_2 $ 収束を保証する。
• リゾルベントトレースの複素上半平面 $ bC^+ $ における一様収束を確立し、中心化された行列における LSS の漸近モーメントの厳密な導出を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模次元の標本共分散行列の線形スペクトル統計（LSS）に対する中心極限定理（CLT）は、単純化されたバージョンの代わりに中心化された標本共分散行列を用いても有効であるか？
• RQ2 中心化された標本共分散行列に CLT を適用する際、次元対標本サイズ比の正しい漸近的スケーリングは何か？
• RQ3 Zheng（2012）の多変量 F 行列に対する CLT 結果は、適切な比の調整のもとで中心化された F 行列に対しても拡張可能か？
• RQ4 中心化された標本共分散行列と単純化された標本共分散行列の間で、LSS CLT の漸近的バイアスはどのように異なるか？
• RQ5 中心化された行列の LSS に対する CLT の証明フレームワークは、追加のバイアス補正項を含む Pan（2012）の手法よりも単純かつ透明性が高いか？

主な発見

• 次元対標本サイズ比 $ y_n = p/n $ を $ p/(n-1) $ に置き換える限り、大規模次元 F 行列の線形スペクトル統計（LSS）に対する中心極限定理（CLT）は、中心化された標本共分散行列を用いても有効である。
• 中心化された標本共分散行列の LSS の漸近的平均および分散の式は、調整された比 $ p/(n-1) $ の下で、単純化された行列と一致し、追加のバイアス補正項は不要である。
• 多変量 F 行列において、比 $ y_{n1} = p/n_1 $ および $ y_{n2} = p/n_2 $ をそれぞれ $ p/(n_1-1) $ および $ p/(n_2-1) $ に置き換えることで、Zheng（2012）の CLT 結果が中心化された F 行列に対しても成り立つ。
• 中心化されたと単純化された標本共分散行列の経験的スペクトル分布（ESD）の差は $ O(n^{-1}) $ のオーダーであり、適切なスケーリングのもとでは極限スペクトル分布や CLT に影響しない。
• 提案されたフレームワークは、追加のバイアス補正項を排除することで、Pan（2012）の結果を単純化し、より透明性の高い同等の定式化を実現している。
• リゾルベントトレースの複素上半平面 $ bC^+ $ における $ L_2 $ 収束の一様性が確立され、中心化された行列における LSS の漸近モーメントの厳密な導出が可能になった。