[論文レビュー] A note on Chern character, loop spaces and derived algebraic geometry

Bertrand Toën, Gabriele Vezzosi|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、スキームの導来ループ空間を用いて、安定∞-圏値の導来的カテゴリカル・シーブ（sheaves of stable ∞-categories）に対するカテゴライズ化されたチャーン類を導入する。これは循環ホモロジーと関連し、完備複体に対する古典的チャーン類を一般化するものであり、導来代数幾何における特性類の理解に新たな枠組みを提供する。また、ホッジ構造の変動や代数的楕円コホモロジーへの潜在的応用とも関係する。

ABSTRACT

In this note we present a work in progress whose main purpose is to establish a categorified version of sheaf theory. We present a notion of derived categorical sheaves, which is a categorified version of the notion of complexes of sheaves of modules on schemes, as well as its quasi-coherent and perfect versions. We also explain how ideas from derived algebraic geometry and higher category theory can be used in order to construct a Chern character for these categorical sheaves, which is a categorified version of the Chern character for perfect complexes with values in cyclic homology. Our construction uses in an essential way the derived loop space of a scheme X, which is a derived scheme whose theory of functions is closely related to cyclic homology of X. This work can be seen as an attempt to define algebraic analogs of elliptic objects and characteristic classes for them. The present text is an overview of a work in progress and details will appear elsewhere.

研究の動機と目的

• 導来代数幾何におけるカテゴライズ化されたシーブ理論を構築し、O-加群の複体から安定∞-圏値のシーブへ一般化する。
• 完備カテゴリカル・シーブに対して、循環ホモロジーに値をとるチャーン類の構成を行い、古典的チャーン類を拡張する。
• このカテゴライズ化されたチャーン類を導来ループ空間およびS¹-等変構造と関連づけ、ホッジ理論および周期的循環ホモロジーと結びつける。
• 高階カテゴリカル構造（2-圏、n-圏）と、次第に染色レベルが上昇する一般化コホモロジー理論、特に楕円コホモロジーとの関係を探索する。
• 高階カテゴリカルおよび導来幾何的手法を用いて、楕円的対象の代数的アナログおよびその特性類を理解するための基盤的ツールを構築する。

提案手法

• 準連接および完備の両方のバリエーションを含む、O-加群の複体のカテゴライズ化としての導来的カテゴリカル・シーブを定義する。
• スキームXの導来ループ空間LXを用い、その関数代数はXの循環ホモロジーと密接に結びついている。
• 完備カテゴリカル・シーブTのK理論から、導来ループ空間LXのS¹-等変導来圏D^{S¹}_{parf}(LX)へのチャーン類写像Ch^cat(T)を構成する。
• 特に、剛性をもつ対称モノイド∞-圏におけるトレース写像を活用し、圏のホッジ・ホモロジーへのトレースとしてチャーン類を定義する。
• D^{S¹}_{parf}(LX)を微分作用素のリース代数上のD-モジュールの導来圏と同一視することで、ホッジフィルトレーションおよびガウス＝マニン接続を符号化し、ホッジ構造の変動と関連づける。
• 局所化および形式的変形技法を用いて、S¹-等変負の循環ホモロジーと周期的循環ホモロジー、およびホッジ多項式との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、導来代数幾何における安定∞-圏値のシーブ（カテゴリカル・シーブ）に対してチャーン類を定義できるか？
• RQ2 導来ループ空間は、カテゴリカル・シーブの循環ホモロジーおよび特性類をどのように符号化するか？
• RQ3 カテゴライズ化されたチャーン類は、ホッジ構造の変動およびガウス＝マニン接続とどのように関係するか？
• RQ4 この構成は、周期的循環ホモロジーおよびホッジ多項式をカテゴリカル・シーブの観点から幾何的解釈を可能にするか？
• RQ5 この枠組みは、どの程度まで楕円コホモロジーの代数的アナログとして機能するか。また、トポロジカルな楕円コホモロジーにどのように寄与するか？

主な発見

• カテゴライズ化されたチャーン類Ch^cat(T)は、導来ループ空間LXのS¹-等変導来圏における射として構成され、負の循環ホモロジーに値をとる。
• この構成は、完備カテゴリカル・シーブのK理論から圏のホッジ・ホモロジーへのトレース写像として実現され、対称モノイド∞-圏におけるトレースを介して定義される。
• Ch^cat(T)の像は、負の循環複体HC^−(T)のホッジフィルトレーションおよびガウス＝マニン接続を符号化しており、自然なホッジ構造の変動の構造を示唆する。
• Xが標数0の体上ですべて滑らかであれば、S¹-等変導来圏D^{S¹}_{parf}(LX)は、X上の微分作用素のリース代数上のモジュールの導来圏と同一視される。
• HC^−,S¹_0(LX)からHP_0(X)[[t]][t^{-1}]への射が期待され、カテゴライズ化されたチャーン類が周期的循環ホモロジーおよびホッジ多項式と結びつく。
• この枠組みは、楕円コホモロジーの代数的アナログの候補を提供し、ウォーカーのK理論に関する結果に類似した代数的K理論の構成により、トポロジカルな楕円コホモロジーを回復可能である可能性を有する。