[論文レビュー] A note on coherence power of N-dimensional unitary operators

M. García-Díaz, D. Egloff+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2015

Quantum Information and Cryptography被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、量子コherenceの資源理論におけるN次元ユニタリ演算子のコherence効力について検討し、$l_1$-ノルムコherence測度に焦点を当てる。2次元系（$N=2$）では、純粋な非コherence状態での作用時にコヒーレンス増幅が最大に達するが、$N>2$ではコヒーレントな入力状態で最大が達成されることが示され、高次元では非コヒーレント状態のみを最適化対象とすることは不十分であることが明らかになった。

ABSTRACT

The coherence power of a quantum channel, that is, its ability to increase the coherence of input states, is a fundamental concept within the framework of the resource theory of coherence. In this note we discuss various possible definitions of coherence power. Then we prove that the coherence power of a unitary operator acting on a qubit, computed with respect to the $l_1$-coherence measure, can be calculated by maximizing its coherence gain over pure incoherent states. We proceed to show that this result fails for dimensions N>2, that is, the maximal coherence gain is found when acting on a state with non-vanishing coherence.

研究の動機と目的

• 量子操作、特にユニタリ演算子におけるコヒーレンス効力の定義と計算方法を明確化すること。
• コヒーレンス効力を最大化する際に、非コヒーレント状態のみを最適化対象とすることによって、グローバル最大値が得られるかどうかを調査すること。
• 2次元系（qubit）で非コヒーレント状態で最大のコヒーレンス増幅が達成されるという結果が、高次元系へと一般化可能かどうかを特定すること。
• コヒーレントな入力状態が非コヒーレント状態よりも高いコヒーレンス増幅をもたらす条件を同定すること。
• コヒーレンス効力の標準的定義を、最適化にすべての量子状態を含めるように見直す基盤を提供すること。

提案手法

• コヒーレンス効力 $P(U)$ を、すべての入力状態における $l_1$-ノルムコヒーレンスの最大増加分として定義する：$P(U) = \max_{\rho} \left[ C_{l_1}(U\rho U^\dagger) - C_{l_1}(\rho) \right]$。
• 2次元系のユニタリ演算子に対して、入力状態が純粋かつ非コヒーレント（計算基底で対角）である場合に最大コヒーレンス増幅が達成されることを証明する。
• 凸性および対称性の議論を用いて2次元系の最適化を簡略化し、純粋非コヒーレント状態に還元する。
• $N=3$ のユニタリ回転（例：$R_x(\pi/4)$、$R_x(\pi/8)$）に対して明示的な反例を構築し、コヒーレント状態でのコヒーレンス増幅が非コヒーレント状態を上回ることを示す。
• $l_1$-ノルムと相対エントロピーのコヒーレンス測度を用いて結果を比較し、妥当性を検証する。
• 特定の重ね合わせ状態の数値的評価を通じて、$N>2$ では一般に最適な入力状態がコヒーレントであることが示され、非コヒーレント状態ではない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ演算子のコヒーレンス効力は、非コヒーレント状態のみを対象としてコヒーレンス増幅を最大化することで計算可能か？
• RQ2 2次元系（$N=2$）で最大コヒーレンス増幅が非コヒーレント状態で達成されるという結果が、高次元系へと拡張可能か？
• RQ3 ユニタリ変換下でのコヒーレンス増幅を最大化するにあたり、初期状態のコヒーレンスが果たす役割は何か？
• RQ4 高次元において、コヒーレントな入力状態が最大コヒーレンス効力に有利である構造的要因は存在するか？
• RQ5 $N>2$ において、コヒーレンス効力の最適化を状態空間のより小さな部分集合に制限できるか、それとも全状態空間が必要か？

主な発見

• 2キュービットのユニタリ演算子に関しては、$l_1$-ノルム測度によるコヒーレンス効力は、入力状態が純粋かつ非コヒーレントである場合に達成される。
• $N=3$ の回転 $R_x(\pi/4)$ について、コヒーレンス効力は非コヒーレント状態での最大増幅を上回り、コヒーレント重ね合わせ状態で1.1471に達する。
• $3$次元回転 $R_x(\pi/8)$ について、コヒーレント状態 $|\phi\rangle = q_2|2\rangle + q_3|3\rangle$ でのコヒーレンス増幅は0.47648に達し、非コヒーレント状態での最大値0.41650を上回る。
• 相対エントロピーのコヒーレンス効力についても、$N>2$ の次元では非コヒーレント状態に制限して計算することはできず、明確な反例によって示された。
• 高次元系（$N>2$）におけるユニタリ演算子の最大コヒーレンス増幅は、一般に非コヒーレント状態で達成されないため、最適化に非コヒーレント状態のみを用いるという仮定は誤りである。
• この結果は、エンタングルメント理論における結果と類似しており、エンタングルド状態がより高いエンタングルメント増幅をもたらすのと同様に、量子資源理論全体に共通する原理を示唆している。