[論文レビュー] A note on cohomological localization

Henning Krause|ArXiv.org|Nov 4, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、コhomological関手を介してアーベル圏から三角圏への局所化関手を上げる方法を確立し、元の局所化と上げた局所化の間の整合性を保証する。主な結果は、コhomological関手 $ H^*: \mathcal{T} \to \mathcal{A} $ と $ \mathcal{A} $ 上の局所化 $ L $ が与えられたとき、$ H^* $ が同型を反映し、$ L $ が完全性を保つ限り、$ H^* \tilde{L} \cong L H^* $ を満たす一意な三角圏上の局所化関手 $ \tilde{L} $ が存在することである。

ABSTRACT

Given a cohomological functor from a triangulated category to an abelian category, we construct under appropriate assumptions for any localization functor of the abelian category a lift to a localization functor of the triangulated category. This discussion of Bousfield localization is combined with a basic introduction to the concept of localization for arbitrary categories.

研究の動機と目的

• アーベル圏から三角圏への局所化関手をコhomological関手を用いて上げるための一般枠組みを提供すること。
• 安定ホモトピー論および表現論の文脈におけるボウシデル局所化に関する先行共同研究の結果を明確化・一般化すること。
• アーベル圏上の局所化が、コhomological関手と整合的であるように三角圏上に上げられるための条件を確立すること。
• 上げた局所化関手 $ \tilde{L} $ がコhomological関手 $ H^* $ とアーベル圏上の局所化 $ L $ によって一意に決定されることを示すこと。

提案手法

• 三角圏 $ \mathcal{T} $ 上の局所化関手を、$ F: \mathcal{T} \to \mathcal{D} $ と $ G: \mathcal{D} \to \mathcal{T} $ が随伴対をなし、$ G $ が全ファンクター的であるという形で $ \tilde{L} = G \circ F $ として定義する。
• 随伴射 $ \Psi: \mathrm{id}_{\mathcal{T}} \to \tilde{L} $ を用いて、$ \tilde{L} \Psi \cong \Psi \tilde{L} $ かつ $ \tilde{L} \Psi $ が可逆であることを満たす局所化関手として $ \tilde{L} $ を特徴付ける。
• $ H^* $ がコhomologicalであり、同型を反映することを用いて、$ H^* \tilde{L} \cong L H^* $ を満たすように $ \tilde{L} $ を構成する。
• $ \tilde{L} $-可縮対象が $ H^* $-可縮対象とちょうど一致することを示し、$ \mathcal{T} $ と $ \mathcal{A} $ 上の局所化の整合性を保証する。
• $ \tilde{L} $-可縮対象のなすクラスによって $ \tilde{L} $ が一意に決定されることを証明し、同型を除いて一意であることを示す。
• $ C $ が $ \mathcal{T} $ の生成子であり、$ L $ が小さな直積を保存するならば、$ H^* \tilde{L} \cong L H^* $ と $ H^* $ が同型を反映することにより、$ \tilde{L} $ も小さな直積を保存することが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル圏上の局所化関手がコhomological関手を介して三角圏上に上げられるための条件は何か？
• RQ2 与えられたコhomological関手 $ H^*: \mathcal{T} \to \mathcal{A} $ と $ \mathcal{A} $ 上の局所化 $ L $ に対して、$ H^* \tilde{L} \cong L H^* $ を満たす三角圏上の局所化関手 $ \tilde{L} $ をどのように構成できるか？
• RQ3 $ \mathcal{T} $ 内の $ \tilde{L} $-可縮対象と $ \mathcal{A} $ 内の $ L $-可縮対象の間の正確な関係は何か？
• RQ4 上げた局所化関手 $ \tilde{L} $ は一意的か？ もし一意的であるならば、$ H^* $ と $ L $ によってどのように決定されるか？
• RQ5 上げた局所化 $ \tilde{L} $ が小さな直積を保存するのはどのような条件下か？

主な発見

• コhomological関手 $ H^* $ が同型を反映し、$ L $ が $ \mathcal{A} $ 上の局所化関手である限り、$ H^* \tilde{L} \cong L H^* $ を満たす一意な三角圏上の局所化関手 $ \tilde{L} $ が存在する。
• 対象 $ X \in \mathcal{T} $ が $ \tilde{L} $-可縮であるための必要十分条件は、$ H^*X $ が $ L $-可縮であることである。これにより、両圏における可縮対象の間の直接的な対応関係が確立される。
• 上げた局所化 $ \tilde{L} $ は $ \tilde{L} $-可縮対象のクラスによって決定され、したがって同型を除いて一意である。
• $ H^* $ が同型を反映すると仮定すると、自然変換 $ \Psi: \mathrm{id}_{\mathcal{T}} \to \tilde{L} $ が同型であるための必要十分条件は、$ H^*X $ が $ L $-局所的であることである。
• $ C $ が $ \mathcal{T} $ の生成子であり、$ L $ が小さな直積を保存するならば、$ H^* \tilde{L} \cong L H^* $ と $ H^* $ が同型を反映することにより、$ \tilde{L} $ も小さな直積を保存する。
• 誘導関手 $ J: \mathcal{T}/\ker \tilde{L} \to \mathcal{A}/\ker L $ は、等式 $ \operatorname{Hom}^*_{{\mathcal{T}}/{\ker \tilde{L}}}(C,X) \cong LH^*X $ を用いて明示的に記述され、商構造の整合性が示される。