[論文レビュー] A Note on Combinatorial Derivation

Joshua Erde|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2012

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、無限群における組合せ的導出に関するプロタソフが提起した複数の未解決問題を解決する。任意の有限分割において、少なくとも1つの部品の組合せ的導出が自身で大集合であることを証明し、すべての∇-薄い集合が疎であること、を確立する。結果は構造的群論的議論と濃度に基づく構成を用いて得られ、群を導出作用素によって被覆するために必要な有限集合のサイズに関する重要な境界が得られる。

ABSTRACT

Given an infinite group $G$ and a subset $A$ of $G$ we let $Δ(A) = {g \in G : |gA \cap A| =\infty}$ (this is sometimes called the combinatorial derivation of $A$). A subset $A$ of $G$ is called large if there exists a finite subset $F$ of $G$ such that $FA=G$. We show that given a large set $X$, and a decomposition $X=A_1 \cup ... \cup A_n$, there must exist an $i$ such that $Δ(A_i)$ is large. This answers a question of Protasov. We also answer a number of related questions of Protasov.

研究の動機と目的

• 無限群における組合せ的導出Δ(A)に関して、プロタソフが提起した未解決問題を解消すること。
• 大集合が必ずΔ-大集合であるかどうか、および大集合の有限分割において、Δ-大集合である部品を含むかどうかを特定すること。
• ∇-薄い集合と疎性の関係を調査し、平行移動に関して無限交差性を持つ集合の構造を明確にすること。
• 有限分割において、FΔ(A_i) = G を満たす有限集合Fのサイズに関する境界を確立すること。これは群の種別にわたる一様性を扱う。

提案手法

• 共通部分集合の補集合が有限であるような移動（cofinite translates）の概念を用いる：FA が共通部分集合であれば、FΔ(A) = G であり、これはΔ-大集合を意味する。
• |f_iA ∩ f_jA| < ∞ を満たす最大の有限集合Fを用いて、ほとんどP-小でない集合がΔ-大集合であることを示す。
• 無限個の交差する移動の鎖を用いて、任意の可算集合X ⊆ Δ(A)に対して、Δ(Y) = X を満たす無限部分集合Y ⊆ Aを構成する。
• 大きな群（例：(Z_2)^κ）における濃度の議論を用いて、Δ(A)の非可算部分集合が、任意のY ⊆ Aに対してΔ(Y)として現れない可能性があることを示す。
• Δ(FA) = FΔ(A)F⁻¹ という恒等式を用いて、移動と導出集合の関係を関連付ける。
• 疎でない集合はすべてのnに対してΔ^n(A)が無限であることを証明し、それらが∇-薄くないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の無限群における大集合は、必ずΔ-大集合か？
• RQ2 任意のn分割において、G = FΔ(A_i) を満たすFが存在し、|F| ≤ f(n) となるような関数f: N → N が存在するか？
• RQ3 e ∈ A_i である対称的分割G = A₁ ∪ … ∪ A_n において、あるA_iが無限集合Xを含み、Δ(X) ⊆ A_i を満たすか？
• RQ4 すべての∇-薄い集合は、必ず疎か？
• RQ5 導出作用素Δは、Y ⊆ A に対してΔ(Y)として非可算集合を生成できるか？

主な発見

• 任意の無限群における大集合は、任意の有限分割において、Δ(A_i)が大集合であるような部品A_iを必ず含む。これは質問Aに対して肯定的な回答である。
• FX が共通部分集合であるような集合Xの任意の有限分割において、|F'| ≤ |F|(|F|+1)^{2^{n-1}-1} を満たす有限集合F' が存在し、F'Δ(A_i) = G となる。これは質問Bに対する一様な境界を提供する。
• e ∈ X である任意の可算対称集合X ⊆ Δ(A) に対して、Δ(Y) = X を満たすY ⊆ A が存在する。これは質問Cに対して肯定的な回答である。
• すべての∇-薄い集合は疎である。これは質問Dに対して肯定的な回答である。
• Δ(A) の非可算部分集合X であって、任意のY ⊆ A に対してΔ(Y) = X を満たさないようなものが存在する。これは定理2における可算性の必要性を示している。
• (Z, +) は∇-薄くない2-疎な集合を含む。これは疎 ⇒ ∇-薄いという含意の逆が成り立たないことを示している。