[論文レビュー] A note on conditional risk measures of Orlicz spaces and Orlicz-type modules

J. Orihuela, José Miguel Zapata|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2016

Risk and Portfolio Optimization参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、条件付き集合論とモジュラー拡張を活用することで、Orlicz空間における条件付きおよび動的リスク測度の強固な表現を確立する。また、Orlicz型モジュールの条件付き順序連続双対を特徴付け、スカラー化に基づく枠組みを提供し、リスク測度を条件付き期待値とモジュラーノルムの観点から表現する。

ABSTRACT

We consider conditional and dynamic risk measures of Orlicz spaces and study their robust representation. For this purpose, given a probability space $(\Omega,\mathcal{E},\mathbb{P})$, a sub-$\sigma$-algebra $\mathcal{F}$ of $\mathcal{E}$, and a Young function $\varphi$, we study the relation between the classical Orlicz space $L^\varphi(\mathcal{E})$ and the modular Orlicz-type module $L^\varphi_\mathcal{F}(\mathcal{E})$; based on conditional set theory, we describe the conditional order continuous dual of a Orlicz-type module; and by using scalarization and modular extensions of conditional risk measures together with elements of conditional set theory, we finally characterize the robust representation of conditional risk measures of Orlicz spaces.

研究の動機と目的

• 古典的Orlicz空間 $ L^\varphi(\mathcal{E}) $ とモジュラー型Orliczモジュール $ L^\varphi_\mathcal{F}(\mathcal{E}) $ の間の構造的関係を調査すること。
• Orlicz型モジュールの順序連続双対を分析するための条件付き集合論的枠組みを構築すること。
• スカラー化とモジュラー拡張を用いて、条件付きリスク測度の強固な表現を確立すること。
• 古典的リスク測度理論を、Orlicz型モジュール内での動的かつ条件付き設定に拡張すること。

提案手法

• 条件付き集合論を用いて、条件付きベクトル空間およびOrlicz型モジュール内の双対性をモデル化する。
• 条件付き順序収束を用いて、$ L^\varphi_\mathcal{F}(\mathcal{E}) $ の条件付き順序連続双対を定義する。
• スカラー化技術を適用して、条件付きリスク測度をスカラー値の類似物に変換する。
• モジュラー拡張を用いて、古典的 $ L^p $-型設定を超えたリスク測度表現を一般化する。
• モジュラーノルムを通じて、条件付きリスク測度と条件付き期待値の間の関係を確立する。
• モジュラー理論と条件付き双対性を組み合わせ、リスク測度の表現定理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 条件付き設定下で、古典的Orlicz空間 $ L^\varphi(\mathcal{E}) $ とモジュラー型Orliczモジュール $ L^\varphi_\mathcal{F}(\mathcal{E}) $ の関係は何か？
• RQ2 Orlicz型モジュールの条件付き順序連続双対の構造は何か？
• RQ3 スカラー化とモジュラー拡張を用いて、条件付きリスク測度をどのように表現できるか？
• RQ4 Orlicz型モジュール内での条件付きリスク測度の強固な表現を保証する条件は何か？
• RQ5 条件付き集合論は、非原子的かつ非線形空間におけるリスク測度の分析をどのように支援するか？

主な発見

• $ L^\varphi_\mathcal{F}(\mathcal{E}) $ の条件付き順序連続双対は、条件付き順序収束と条件付き集合論的双対性を用いて特徴付けられる。
• スカラー化とモジュラー拡張を用いることで、条件付きリスク測度の強固な表現が達成され、古典的表現が一般化される。
• $ L^\varphi(\mathcal{E}) $ と $ L^\varphi_\mathcal{F}(\mathcal{E}) $ 間の関係は、条件付き期待値とモジュラーノルムを用いて形式化される。
• この枠組みにより、条件付き期待値とモジュラー関数の観点から動的リスク測度を表現できる。
• 条件付き集合論の使用により、非可分かつ非反射的Orlicz型モジュールにおける条件付き双対性の厳密な取り扱いが可能になる。
• 結果として、モジュラーおよび条件付き手法を用いて、$ L^p $-空間を超えて一般Orlicz空間へのリスク測度理論の拡張が達成される。