[論文レビュー] A Note on Connected Dominating Set in Graphs Without Long Paths And Cycles

Eglantine Camby, Oliver Schaudt|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、k ≥ 6 における (Pk, Ck)-free グラフにおける連結支配数（γc）と支配数（γ）の比について調査する。タイトな上界を確立する：(P6, C6)-free グラフでは γc ≤ γ + 1、(P8, C8)-free グラフでは γc ≤ 2γ であり、(P9, C9)-free グラフでは一般の上界 γc/γ < 3 が漸近的に鋭いことが示され、任意に大きな γ を持つ構成がこの比を達成する。

ABSTRACT

The ratio of the connected domination number, $γ_c$, and the domination number, $γ$, is strictly bounded from above by 3. It was shown by Zverovich that for every connected $(P_5,C_5)$-free graph, $γ_c = γ$. In this paper, we investigate the interdependence of $γ$ and $γ_c$ in the class of $(P_k,C_k)$-free graphs, for $k \ge 6$. We prove that for every connected $(P_6,C_6)$-free graph, $γ_c \le γ+ 1$ holds, and there is a family of $(P_6,C_6)$-free graphs with arbitrarily large values of $γ$ attaining this bound. Moreover, for every connected $(P_8,C_8)$-free graph, $γ_c / γ\le 2$, and there is a family of $(P_7,C_7)$-free graphs with arbitrarily large values of $γ$ attaining this bound. In the class of $(P_9,C_9)$-free graphs, the general bound $γ_c / γ\le 3$ is asymptotically sharp.

研究の動機と目的

• k ≥ 6 における (Pk, Ck)-free グラフにおける γc/γ のタイトな上界を特定すること。
• 一般の上界 γc ≤ 3γ が特定のグラフクラスにおいて漸近的に鋭いかどうかを調査すること。
• 任意に大きな支配数を持つ (Pk, Ck)-free グラフの無限族を構成し、導出された境界を達成すること。
• γc ≤ 2γ が成り立つ最大の遺伝的グラフクラスの特徴付けの可能性を検討すること。
• これらのクラス内で支配集合から連結支配集合に変換する多項式時間アルゴリズムを可能にする構成的証明を提供すること。

提案手法

• 特に Pk−2-フリーであることを特徴とする、(Pk, Ck)-free グラフにおける最小連結支配集合の構造的性質を活用する。
• P6-free グラフにおける連結支配集合に関する既知の結果を用いる。具体的には、支配集合上に誘導される部分グラフに全域的完全二部グラフまたは C6 が存在すること。
• 構成的アプローチを採用する：最小支配集合 D が与えられたとき、禁止部分グラフの制約に応じて、D の各成分に対して高々 O(1) 個の頂点を追加することで連結支配集合を構築する。
• 支配集合の誘導部分グラフの構造に基づくケース解析（例：C6 または完全二部グラフ部分グラフを含むかどうか）。
• 具体的なグラフ構成（例：Hk と Gk）を導入し、γc/γ = 2 および lim γc/γ = 3 を達成することで、境界のタイトさを示す。
• 帰納法と近傍解析を用いて、構築された集合の連結性と支配性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連結な (P6, C6)-free グラフにおいて、γc/γ のタイトな上界は何か？
• RQ2 (P8, C8)-free グラフでは γc ≤ 2γ が達成可能か？ また、(P7, C7)-free グラフではそれがタイトか？
• RQ3 (P9, C9)-free グラフのクラスにおいて、一般の上界 γc/γ < 3 は漸近的に鋭いか？
• RQ4 γc ≤ 2γ が成り立つ、誘導部分グラフについて閉じた最大の遺伝的グラフクラスは何か？
• RQ5 構造的結果を用いて、これらのクラスにおいて支配集合から連結支配集合を計算する効率的なアルゴリズムを設計できるか？

主な発見

• 任意の連結な (P6, C6)-free グラフについて、連結支配数は γc ≤ γ + 1 を満たし、この上界は任意に大きな γ を持つ無限個のグラフでタイトである。
• 任意の連結な (P8, C8)-free グラフについて、比 γc/γ は 2 未満であるが、これは (P7, C7)-free グラフにおいてタイトであり、無限個のこのようなグラフの族によって示された。
• (P9, C9)-free グラフのクラスにおいて、一般の上界 γc/γ < 3 は漸近的に鋭い。Gk というグラフ族は lim_{k→∞} γc(Gk)/γ(Gk) = 3 を満たす。
• Hk の構成により、(P7, C7)-free グラフの無限族が得られ、γc(Hk)/γ(Hk) = 2 であり、2γ の上界のタイトさが証明された。
• Hk の各端点頂点にパビリオン頂点を追加して得られる Gk の構成により、(P9, C9)-free グラフが得られ、γ(Gk) = k+1 かつ γc(Gk) = 3k であり、比の漸近的値 3 が確認された。
• 証明は構成的であり、それぞれのグラフクラス内で最小支配集合を連結支配集合に変換する多項式時間アルゴリズムを示唆している。