[論文レビュー] A note on continuity of magnetization at criticality for the ferromagnetic Ising model on amenable quasi-transitive graphs with exponential growth

Aran Raoufi|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2016

Theoretical and Computational Physics参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、指数的成長を示す可解な準推移的グラフ上の強磁性イジン模型が、臨界逆温度 $eta_c$ における自発磁化の連続性を示すことにより、2次相転移を示している。証明は、ヒューチクロフトによるベルヌーイ確率的透過における相関の崩壊に関する議論と、アイゼンマン、デュミニル＝コピン、シドロヴィチウスによる確率的電流表現を組み合わせており、自由測度における長距離秩序の不在が $eta_c$ における自発磁化の消滅を意味することを示している。主な結果は $ u_{G,eta_c}^{+}( au_x) = 0$ であり、臨界定常における磁化の連続性を確認している。

ABSTRACT

The purpose of this modest note is to point out that the proof of the recent result of Huchcroft concerning continuity of phase transition in Bernoulli percolation is applicable to the setting of the Ising model with free boundary condition. This observation, together with a recent result of Aizenman, Duminil-Copin, and Sidoravicius implies that the Ising model on amenable quasi-transitive graph with exponential growth undergoes a second order phase transition.

研究の動機と目的

• 可解な準推移的グラフで指数的成長を示す強磁性イジン模型について、臨界逆温度 $\beta_c$ における自発磁化の連続性を確立すること。
• ヒューチクロフトによるベルヌーイ透過における相関の崩壊の証明技法を、自由境界条件を伴うイジン模型に拡張すること。
• 確率的電流表現とアイゼンマン、デュミニル＝コピン、シドロヴィチウスの最近の結果を応用し、2次相転移を導出すること。
• 自由測度における長距離秩序の不在が、$eta_c$ における自発磁化のゼロを意味することを示すこと。

提案手法

• ヒューチクロフトによるベルヌーイ透過における相関の崩壊の証明を、自由境界条件を伴うイジン模型に適応し、相関の超乗法的性質を用いる。
• $\kappa_\beta(n) = \min_{y \in \Lambda_n(x)} \mu_\beta^0(\sigma_x\sigma_y)$ を定義し、グリフィスの不等式を用いてその超乗法的性質を証明する。
• グラフの指数的成長を用いて、すべての $\beta < \beta_c$ に対して $\sup_n (\kappa_\beta(n))^{1/n} < \rho < 1$ を示し、$|\Lambda_n|^{-1/n}$ の崩壊に依存する。
• 有限体積における相関の単調性と連続性を用いて、$\beta \mapsto \sup_n (\kappa_\beta(n))^{1/n}$ の左連続性を確立する。
• 定理4（[ADS15]）を適用し、自由測度における相関の正規化された和の消滅が自発磁化のゼロを意味することを示す。
• 集合列 $\{K_n\}$ を構成し、$\sum_{x,y \in K_n} \mu_{\beta_c}^0(\sigma_x\sigma_y)/|K_n|^2 \to 0$ を満たし、定理4の条件を満たすようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可解な準推移的グラフで指数的成長を示す強磁性イジン模型について、自発磁化は $eta_c$ で連続的であるか？
• RQ2 ヒューチクロフトによる透過における相関の崩壊に関する議論を、自由境界条件を伴うイジン模型に適応できるか？
• RQ3 自由測度における長距離秩序の不在が、自発磁化をゼロに導く条件は何か？
• RQ4 この一般のグラフ設定において、$$\mathbb{Z}^d$$ と同様に2次相転移が成立するか？

主な発見

• 自発磁化 $\mu_{G,\beta_c}^{+}(\sigma_x)$ は $\beta_c$ で連続的であり、$\mu_{G,\beta_c}^{+}(\sigma_x) = 0$ である。
• 相関の崩壊率 $\kappa_{\beta_c}(n) \leq \rho^n$ が、ある $\rho < 1$ に対して成り立つ。これは超乗法的性質と指数的成長に基づいて確立された。
• 写像 $\beta \mapsto \sup_n (\kappa_\beta(n))^{1/n}$ は左連続であり、$\beta_c$ に対しても崩壊の境界が拡張可能である。
• 集合 $K_n$ の構成により、$\sum_{x,y \in K_n} \mu_{\beta_c}^0(\sigma_x\sigma_y)/|K_n|^2 \leq C/n \to 0$ を満たし、定理4の条件を満たす。
• この結果により、可解な準推移的グラフで指数的成長を示すイジン模型における2次相転移が確認された。
• 自己同型不変性とトランスティヴグラフからの結果の持ち上げを用いて、証明は準推移的グラフへ拡張可能である。