[論文レビュー] A note on continuous ensemble expansions of quantum states

Romàn R. Zapatrin|ArXiv.org|Mar 15, 2004

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、混合量子状態を連続的な純粋状態の集合によって再構成可能にする、操作的量子相対エントロピー「a posteriori 相対量子エントロピー」として知られるものを導入する。この距離に重み付けされたギブス分布を用いることで、元の密度行列は任意に小さなホワイトノイズ成分まで再構成可能であり、その平均が ε→0 のとき (1−ε)ρ + εΛ に収束する明示的な公式が得られる。

ABSTRACT

Generalizing the notion of relative entropy, the difference between a priori and a posteriori relative entropy for quantum systems is drawn. The former, known as quantum relative entropy, is associated with quantum states recognition. The latter -- a posteriori relative quantum entropy is shown to be related with state reconstruction due to the following property: given a density operator $ρ$, ensembles of pure states with Gibbs distribution with respect to the defined distance are proved to represent the initial state $ρ$ up to an amount of white noise (completely mixed state) which can be made arbitrary small.

研究の動機と目的

• 測定後の状態更新に基づく、古典的カルバック・ライブラー発散の量子的操作的アナログを定義すること。
• 離散的サンプリングを伴わずに、純粋状態の集合からの量子状態再構成問題を扱うこと。
• a posteriori 相対エントロピーで重み付けされた連続的純粋状態の集合が、与えられた混合状態を任意に小さなホワイトノイズまで再構成できることを示すこと。
• このような集合による密度演算子の再構成に対して、明示的な解析的公式を導出すること。

提案手法

• 測定結果に基づくLüders状態 ρ_L[σ] を用いて、a posteriori 相対量子エントロピー L(ρ||φ) を S(ρ||ρ_L[σ]) として定義する。
• 複素射影空間 CP^{n−1} 上で、exp(−n/ε × L(ρ||φ)) を指数関数として用いたギブス集合を構築する。
• 密度演算子 I(ρ) を、ギブス測度 μ_ρ(φ) で重み付けられた |φ⟩⟨φ| の積分として定義する。
• C^n 内の単位球面上での明示的積分を用いて、集合平均の閉形式表現を導出する。
• 複素球面上の単項式の積分に関する補題を適用し、行列要素を評価し、正規化定数を導出する。
• 正確な公式 (18) を確立し、集合平均が (1−ε)ρ + εΛ に等しいことを示す。ここで Λ は最大混合状態である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測定後の状態更新を反映する相対エントロピーの量子的操作的アナログを定義できるか？
• RQ2 与えられた混合量子状態を再構成できる連続的純粋状態の集合を、どのように構築できるか？
• RQ3 a posteriori 相対エントロピーに基づくギブス集合と元の密度演算子との間の正確な関係は何か？
• RQ4 再構成誤差はどの程度まで小さくできるか？また、任意に小さくできるか？

主な発見

• 標準的量子相対エントロピーとは異なり、ρ が混合状態で φ が純粋状態であっても、a posteriori 相対量子エントロピー L(ρ||φ) は有限値をとる。
• a posteriori 相対エントロピーで重み付けされた連続的ギブス集合（重み：exp(−n/ε L(ρ||φ))）は、ε→0 のとき元の ρ に任意に近づく密度演算子を再構成する。
• 正確な再構成公式 (18) により、集合平均が (1−ε)ρ + εΛ に等しいことが示され、ここで Λ = 1/n はホワイトノイズ状態である。
• 正規化定数は、ガンマ関数の性質および複素球面上の積分の性質を用いて明示的に導出された。
• この手法により、誤差が ε で抑えられ、ε を十分に小さくすることで任意に小さくできる。
• 集合の極限分布は、ρ に対して a posteriori 距離がゼロである状態に対応する n 次元位相のトーラス上に一様に分布する。