[論文レビュー] A Note on convergence of double sequences in a topological space

Amar Kumar Banerjee, Rahul Mondal|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2016

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、位相空間における二重列の収束を調査し、理想を用いた一般化された収束を可能にする $d$-極限空間枠組みを導入する。$I$-逐次コンパクト空間（任意の二重列が $I$-集積点を持つ空間）は、弱い理想条件のもとで可算コンパクト性を示すことが示され、また第一可算的かつ可算コンパクトな空間が強適切理想について $I$-逐次コンパクトであることが証明されている。

ABSTRACT

In this paper we have shown that a double sequence in a topological space satisfies certain conditions which in turn are capable to generate a topology on a non empty set. Also we have used the idea of I-convergence of double sequences to study the idea of I-sequentially compactness [3] in the sense of double sequences.

研究の動機と目的

• 単一列からの極限空間の概念を二重列へと拡張し、位相的収束を用いる。
• 二重列の位相空間における $I$-収束および $I$-集積点の定義と分析を行う。
• 二重列による $I$-逐次コンパクト性が可算コンパクト性を示す条件を確立する。
• 第一可算的かつ可算コンパクトな空間が、強適切理想について $I$-逐次コンパクトであることを証明する。
• 既知の $I$-収束および逐次コンパクト性に関する結果を、二重列の文脈へ一般化する。

提案手法

• 単一列の $L(1)$–$L(3)$ に類似した、三つの修正された収束公理に基づく二重列用の $d$-極限空間構造を導入する。
• 非自明な理想 $I$ を $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ 上に用い、$x_{ij} \to x_0$ であるとは、$x_0$ の任意の近傍 $U$ に対して $\{(i,j) : x_{ij} \notin U\} \in I$ であることを定義する。
• $I$-集積点の概念を導入する：$y$ が $I$-集積点であるとは、$y$ の任意の近傍 $U$ に対して $\{(i,j) : x_{ij} \in U\} \notin I$ であることを意味する。
• すべての $H \times \mathbb{N}$ および $\mathbb{N} \times \{i\}$ を含む強適切理想の概念を用い、$P$-収束が $I$-収束を含むように保証する。
• 可算コンパクト性の有限交差性および入れ子になった閉集合の特徴付けを用いて、$I$-逐次コンパクト性と可算コンパクト性を結びつける。
• 部分列に類似した二重列 $\{y_{ij}\}$ の対角型構成法を用い、$y_{ij} = a_i$ とすることで、極限点 $y$ への $I$-収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一列の収束位相の概念を、$d$-極限空間枠組みを用いて二重列へと拡張できるか？
• RQ2 二重列による $I$-逐次コンパクト性が可算コンパクト性を示す条件は何か？
• RQ3 第一可算性と可算コンパクト性が組み合わさった空間が、$I$ が強適切理想である場合に $I$-逐次コンパクトであるか？
• RQ4 二重列の $I$-収束は、位相空間におけるプリングシュタイン収束とどのように関係するか？
• RQ5 強適切理想が、二重列について $P$-収束が $I$-収束を含むように保証する役割を果たすか？

主な発見

• 位相空間内の二重列は、$L(1)$、$L(2)$、$L(3)$ の修正版収束公理を満たし、これにより $d$-極限空間が構成可能である。
• 任意の $H \times \mathbb{N}$（$H$ が有限集合）を含む非自明な理想 $I$ に対して、$I$-逐次コンパクト性は可算コンパクト性を示す。
• 理想 $I$ が強適切である場合、二重列の $P$-収束は $I$-収束を含む。
• 第一可算的かつ可算コンパクトな空間では、任意の二重列が $I$-集積点を持つため、強適切理想について $I$-逐次コンパクトである。
• $y_{ij} = a_i$ かつ $a_i \in B_i(y) \cap T_i$ を満たす二重列 $\{y_{ij}\}$ の構成により、$y$ への $I$-収束が保証され、$I$-逐次コンパクト性が証明される。
• 構成された $\{y_{ij}\}$ の値域は $\{x_{ij}\}$ の値域に含まれるため、$\{y_{ij}\}$ の $I$-集積点の性質が $\{x_{ij}\}$ のそれにも適用される。