[論文レビュー] A note on convergence to stationarity of random processes with immigration

Alexander Marynych|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、再生過程の間隔時間 $ \xi_k $ が非格子で有限平均をもち、かつ過程 $ X_k $ が十分に速く減衰する条件下で、スコロホド空間 $ D(\mathbb{R}) $ 上の $ J_1 $-位相において、移民を伴う確率過程のクラスに対して弱収束による定常分布への収束を確立する。$ t\to\infty $ のとき $ (Y(u+t))_{u\in\mathbb{R}} $ の収束を証明しており、$ X_k $ と $ \xi_k $ の間に任意の依存関係を許容しても成立する。これは、従来の結果が独立性を仮定していたのを拡張したものである。

ABSTRACT

Let $X_1, X_2,\ldots$ be random elements of the Skorokhod space $D(\mathbb{R})$ and $ξ_1, ξ_2, \ldots$ positive random variables such that the pairs $(X_1,ξ_1), (X_2,ξ_2),\ldots$ are independent and identically distributed. The random process $Y(t):=\sum_{k \geq 0}X_{k+1}(t-ξ_1-\ldots-ξ_k)1_{\{ξ_1+\ldots+ξ_k\leq t\}}$, $t\in\mathbb{R}$, is called random process with immigration at the epochs of a renewal process. Assuming that the distribution of $ξ_1$ is nonlattice and has finite mean while the process $X_1$ decays sufficiently fast, we prove weak convergence of $(Y(u+t))_{u\in\mathbb{R}}$ as $t o\infty$ on $D(\mathbb{R})$ endowed with the $J_1$-topology. The present paper continues the line of research initiated in Iksanov, Marynych and Meiners (2015+).

研究の動機と目的

• スコロホド空間 $ D(\mathbb{R}) $ 上の $ J_1 $-位相において、移民を伴う確率過程のクラスに対して弱収束による定常分布への収束を確立すること。
• 移民の発生時刻 $ \xi_k $ と個々の過程成分 $ X_k $ 間の独立性仮定を緩和し、任意の依存関係を許容すること。
• 再生ショットノイズ過程の関数極限定理を、独立でない場合へと拡張すること。
• 移民を伴う過程における $ D(\mathbb{R}) $ 上の弱収束の一般枠組みを提供すること。

提案手法

• スコロホド空間 $ D(\mathbb{R}) $ 上の $ J_1 $-位相を用い、ジャンプを伴う経路の収束を許容する。
• 独立同分布の間隔時間 $ \xi_k $ を持つ埋め込まれた再生過程の漸近的挙動を解析するため、鍵再生定理を適用する。
• 定常再生過程と埋め込まれた再生過程のカップリングを用いて、分布収束を導出する。
• 関数 $ \hat{p}(u) $ の dRi（二重右連続可積分）性質と $ (X, \xi) $ の同時分布を用い、可積分性を保証する。
• 再生定理を用いて再生刻限での和の極限を評価し、$ \hat{X} $ と $ \hat{\xi} $ を含む期待値に問題を還元する。
• $ \xi $ のサイズバイアス分布を用いて、埋め込まれた過程の定常分布を特徴づける。恒等式 $ \mathbb{E}[\phi(\xi)] = \frac{1}{\mu}\mathbb{E}[\xi \phi(\xi)] $ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、移民を伴う確率過程が $ D(\mathbb{R}) $ 上で $ J_1 $-位相において弱収束し、定常分布に収束するか？
• RQ2 移民過程 $ \xi_k $ と個々のパス過程 $ X_k $ 間に依存関係がある場合でも、弱収束結果を拡張できるか？
• RQ3 $ t\to\infty $ のとき、過程 $ Y(t) $ の極限定常分布は何か？ そして、それはどのように特徴づけられるか？
• RQ4 $ D(\mathbb{R}) $ 上の $ J_1 $-位相が、ジャンプおよび移民を伴う過程の収束解析にどのように影響するか？

主な発見

• 所定のモーメントおよび減衰条件のもとで、$ t\to\infty $ のとき、$ (Y(u+t))_{u\in\mathbb{R}} $ は $ D(\mathbb{R}) $ 上の $ J_1 $-位相において弱収束する。
• 極限定常分布は $ \xi $ のサイズバイアス分布によって特徴づけられ、密度は $ t \cdot \mathbb{P}(\xi \in dt) $ に比例する。
• $ X_k $ と $ \xi_k $ 間に任意の依存関係がある場合でも収束が成立し、従来の研究で要求されていた独立性仮定を排除した。
• 埋め込まれた過程の極限分布は、$ \mathbb{P}(-S_{-1}^* \leq y, S_0^* < z, X_0 \in A_0) = \frac{1}{\mu} \mathbb{E}[(z \wedge \hat{\xi} - (\hat{\xi} - y)_+)_+ \mathbf{1}_{\{\hat{X} \in A_0\}}] $ で与えられる。
• 証明は鍵再生定理と関数 $ \hat{p}(u) $ の dRi 性質に依存しており、可積分性を保証し、再生定理の適用を可能にする。