[論文レビュー] A note on correlations in randomly oriented graphs

Svante Linusson|ArXiv.org|May 18, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 8被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、ランダムに向き付けられたグラフにおける相関不等式を確立し、ソース頂点 $s$ から二つのターゲット $a$ および $b$ への有向パスの存在が、$s$ が別の頂点 $t$ に到達しない条件のもとでも正の相関を示すことを示している。McDiarmidの補題を介してランダム向き付けとエッジパーコレーションの間の関係を活用し、ハリスの不等式の向き付け版を証明し、新たな相関結果を導出している。特に、$s\not\to t$ の条件下で $a\to t$ と $s\to b$ の間には負の相関が存在する。

ABSTRACT

Given a graph $G$, we consider the model where $G$ is given a random orientation by giving each edge a random direction. It is proven that for $a,b,s\in V(G)$, the events $\{s o a\}$ and $\{s o b\}$ are positively correlated. This correlation persists, perhaps unexpectedly, also if we first condition on $\{s to t\}$ for any vertex $t eq s$. With this conditioning it is also true that $\{s o b\}$ and $\{a o t\}$ are negatively correlated. A concept of increasing events in random orientations is defined and a general inequality corresponding to Harris inequality is given. The results are obtained by combining a very useful lemma by Colin McDiarmid which relates random orientations with edge percolation, with results by van den Berg, Häggström, Kahn on correlation inequalities for edge percolation. The results are true also for another model of randomly directed graphs.

研究の動機と目的

• ランダムに向き付けられたグラフにおける有向パスの相関構造を調査すること。
• 確率的双対性を用いて、エッジパーコレーションからの相関不等式をランダム向き付けに拡張すること。
• $\{s\to a\}$ および $\{s\to b\}$ が、$s\not\to t$ を条件とするときにも正の相関を保つことを確立すること。
• $s\not\to t$ を条件とする下で、インクラスタとアウトクラスタの関係、特に $a\to t$ と $s\to b$ の間の負の相関を分析すること。
• パーコレーションにおけるハリス不等式に類似した、ランダム向き付けにおける増加事象のための枠組みを提供すること。

提案手法

• McDiarmidの補題を活用し、ランダム向き付けにおけるアウトクラスタの分布が $p=1/2$ におけるエッジパーコレーションのクラスタと等価であることを示す。
• 分布的同値性を介して、エッジパーコレーションモデル ($E^p$) における既知の相関不等式をランダム向き付けモデル ($O$) に移行する。
• $s$-アウトクラスタ増加事象を定義し、ランダム向き付けにおける一般化されたハリス型不等式を導出する。
• 補題 2.2 を用いて、$O$ におけるインクラスタとアウトクラスタの同時分布を、クラスタが互いに素である条件の下で $E^p$ におけるそれらと関連付ける。
• van den Berg, Häggström, および Kahn (2001) がパーコレーションにおける相関不等式について得た結果を応用し、向き付けモデルにおける新たな不等式を導出する。
• 条件付き確率不等式を用いて、$s\not\to t$ のような制約下でのパス存在性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムに向き付けられたグラフにおいて、事象 $\{s\to a\}$ と $\{s\to b\}$ は正の相関があるか？
• RQ2 ある $t\neq s$ に対して $s\not\to t$ を条件とするとき、$\{s\to a\}$ と $\{s\to b\}$ 間の正の相関は維持されるか？
• RQ3 $s\not\to t$ を条件とするとき、$\{a\to t\}$ と $\{s\to b\}$ 間の相関は何か？
• RQ4 パーコレーションにおけるハリス不等式は、ランダム向き付けのモデルに適応可能か？
• RQ5 特に条件付きの下で、ランダム向き付けにおけるインクラスタとアウトクラスタの事象の関係は何か？

主な発見

• $\{s\to a\}$ および $\{s\to b\}$ はランダム向き付けモデル $O$ において正の相関を示し、$P_O(s\to a)P_O(s\to b) \leq P_O(s\to a, s\to b)$ を満たす。
• この正の相関は、$s\not\to t$ を条件とするときにも維持され、$P_O(s\to a|s\not\to t)P_O(s\to b|s\not\to t) \leq P_O(s\to a, s\to b|s\not\to t)$ が成り立つ。
• $s\not\to t$ を条件とするとき、$\{a\to t\}$ と $\{s\to b\}$ は負の相関を示す：$P_O(a\to t, s\to b|s\not\to t) \leq P_O(a\to t|s\not\to t)P_O(s\to b|s\not\to t)$。
• モデル $O$ において、$\overset{\leftarrow}{C}_t$ と $\overset{\rightarrow}{C}_s$ の同時分布は、クラスタが互いに素であるとき、エッジパーコレーション $E^p$ における $C_t$ と $C_s$ のそれと一致する。
• ランダム向き付けにおける増加事象のための一般不等式が確立され、パーコレーションにおけるハリスの不等式に類似している。
• モデル $O$ はアウトクラスタ分布において $D^{1/2}$ と分布的に等価であり、これにより両モデル間での結果の移行が可能になる。